π(n)을 n 이하의 소수의 개수라 하자. 소수 정리에 따르면 π(n)은 n/ln(n)과 비슷하게 증가합니다. n이 커질수록 n 근처에서 약 ln(n)개 중 하나가 소수입니다. 백만 근처에서는 약 14개 중 1개가 소수이고, 십억 근처에서는 21개 중 1개입니다.
π(n)은 n 이하의 소수를 셉니다(파란 계단). 소수 정리에 따르면 π(n) ~ n/ln(n)이며 비율은 n → ∞일 때 1에 수렴합니다. 로그 적분 Li(n)은 더 정확합니다.
가우스는 소수 표를 연구한 후 1800년경 이 결과를 추측했습니다. 1896년 자크 아다마르와 샤를 장 드 라 발레 푸생이 각각 독립적으로 리만 제타 함수와 복소해석학을 사용하여 증명했습니다. 복소해석학을 사용하지 않는 순수한 초등 증명은 1948년 셀베르그와 에르되시가 독립적으로 발견했습니다.
다양한 규모에서 소수의 밀도를 보여주는 표
| Up to n | Primes π(n) | Density ≈ 1/ln(n) |
|---|---|---|
| 1 000 | 168 | 1 in 7 |
| 1 000 000 | 78 498 | 1 in 14 |
| 10⁹ | 50 847 534 | 1 in 21 |
| 10¹² | 37 607 912 018 | 1 in 28 |
리만 가설이 증명되면 오차의 가장 정밀한 한계를 얻을 수 있습니다: |π(n) - Li(n)| ≤ √n · ln(n) / (8π). 이것 없이는 오차가 o(n/ln(n))임만 알 수 있습니다. 이것이 리만 가설이 수학에서 가장 중요한 미해결 문제인 이유입니다: 소수 간격이 얼마나 예측 가능한지를 정확히 알려줄 것이기 때문입니다.
π(n)에 대한 n/ln(n)보다 더 정확한 근사는 로그 적분 Li(n) = 2에서 n까지 dt/ln(t)의 적분입니다. 가우스는 이 형태를 선호했습니다. n = 1,000,000일 때: n/ln(n)은 72,382를, Li(n)은 78,628을 주며, 정확한 개수는 78,498입니다. Li(n)의 오차가 훨씬 작습니다. 리만 가설이 증명되면 이 오차를 √n · ln(n)으로 정확히 한정할 수 있습니다.