e^(−x²)는 종 모양 곡선이다. x = 0에서 값이 1로 가장 크고, 양쪽으로 대칭적으로 0에 가까워진다. 이 함수를 실수 전체에서 적분한 넓이는 정확히 √π ≈ 1.7724 이다. 보통은 다른 맥락에서 만나는 e와 π가 확률론의 가장 기본적인 적분 안에서 만나기 때문에 특히 놀랍다.
모든 x에 대해 e^(−x²)를 적분하면 √π ≈ 1.7725 이다. 이것이 가우스 적분이다. 이를 √(2π)로 나누면 표준정규분포 곡선의 정규화 상수가 된다.
증명은 수학에서 가장 우아한 요령 중 하나다. I = ∫e^(−x²)dx 라고 두고 I²를 계산하기 위해 이를 x와 y에 대한 이중적분으로 바꾼 뒤 극좌표 (r, θ)로 옮긴다. 그러면 적분함수는 e^(−r²), 면적요소는 r·dr·dθ 가 된다. 여기서 r가 생기기 때문에 ∫₀^∞ re^(−r²)dr = 1/2 로 적분이 쉬워진다. 여기에 ∫₀^(2π) dθ = 2π 를 곱하면 I² = π, 따라서 I = √π 가 된다.
정규분포, 중심극한정리, 가우스형 파동묶음을 사용하는 양자파동함수, 그리고 팩토리얼에 대한 스털링 근사까지 모두 이 하나의 적분 위에 서 있다. e^(−x²)를 적분하는 곳마다 √π가 나타나며, 연속 확률론에서는 그런 일이 거의 어디에서나 일어난다.
가우스 적분은 ∫_{-∞}^{∞} e^(-x^2) dx = √π 라는 공식이다. 우아한 증명은 적분을 제곱한 뒤 극좌표로 바꾸어 정확히 계산하는 방식이다. 이것은 정규분포의 핵심 계산이기도 하다. 확률밀도 (1/√(2π))·e^(-x^2/2)는 전체 적분이 정확히 1이 된다. 가우스 함수는 양자역학, 열 확산, 스털링 근사, 중심극한정리에 등장한다.