조화급수는 모든 단위분수의 합이다. 각 항 1/n은 0으로 가므로 합이 수렴할 것처럼 보이지만, 실제로는 그렇지 않다. 증명은 묶음짓기를 사용한다. 1/3+1/4 > 1/2, 이어서 1/5+1/6+1/7+1/8 > 1/2, 그리고 이런 묶음 하나하나가 적어도 1/2를 더해 주기 때문에 전체 합은 어떤 한계도 넘는다. 그러나 그 발산은 엄청나게 느려서 부분합이 100이 되려면 관측 가능한 우주의 원자 수보다도 많은 항이 필요하다.
H(n)과 ln(n)은 함께 증가하며, 둘의 차이는 대략 γ ≈ 0.5772 이다. 둘 다 발산하지만, H(n)=100 이 되려면 약 10^43개의 항이 필요하다.
H(n)=100 에 도달하려면 약 10^43개의 항이 필요하다. 이는 관측 가능한 우주의 원자 수보다도 많다.
조화급수 1 + 1/2 + 1/3 + … 는 발산하며, 이 사실은 니콜 오렘이 1350년경 증명했다. 모든 항이 0으로 가더라도 합은 어떤 한계도 넘는다. 부분합은 ln(n) + γ 형태로 자라며 여기서 γ ≈ 0.5772 는 오일러-마스케로니 상수다. 백만 항을 더해도 합은 약 14에 불과하다. 합이 100에 이르려면 10^43개가 넘는 항이 필요하다. 교대급수 1 - 1/2 + 1/3 - … 는 ln 2 로 수렴한다.