어떤 수가 무리수라는 것은 정수 p, q를 사용한 분수 p/q 형태로 표현할 수 없다는 뜻이다. 소수 전개는 끝나지 않고 반복되지 않는다. √2, π, e, φ는 모두 무리수다. 이들은 예외적이거나 기묘한 존재가 아니라, 실수의 압도적 다수가 바로 무리수다.
파랑은 유리수(정확한 분수), 빨강은 무리수(반복되지 않는 소수)다. 어떤 두 유리수 사이에도 무리수가 있고, 그 반대도 마찬가지다.
유리수의 유한 또는 반복 소수 전개와, 무리수의 비반복 무한 소수 전개를 비교하는 표
| RATIONAL: endet oder wiederholt sich | IRRATIONAL: wiederholt sich nie |
|---|---|
| 1/4 = 0,25000... | √2 = 1,4142135... |
| endet | kein Muster, niemals |
| 1/3 = 0,3333... | π = 3,1415926... |
| periodischer Block: {3} | kein Muster, niemals |
| 22/7 = 3,142857... | e = 2,7182818... |
| periodischer Block: {142857} | kein Muster, niemals |
| 5/11 = 0,454545... | φ = 1,6180339... |
| periodischer Block: {45} | kein Muster, niemals |
유리수는 무한히 많지만 나열할 수 있는 셀 수 있는 무한이다. 무리수는 나열할 수 없다. 임의의 실수를 하나 고르면 그것이 유리수일 확률은 정확히 0이다.
무리수는 정수 p, q에 대해 p/q 형태로 쓸 수 없는 수다. 소수 전개는 끝나지 않고 반복되지 않는다. √2의 무리수성은 기원전 약 500년경 피타고라스 학파가 증명했고, 당시에는 큰 충격이었다. π는 람베르트가 1761년에, e는 오일러가 1737년에 무리수임을 증명했다. 실수 대부분은 무리수다. 유리수는 무한하지만 셀 수 있는 반면, 무리수는 셀 수 없는 무한이므로 임의의 실수를 하나 고르면 무리수일 확률은 정확히 1이다. 대수적 무리수는 다항식 방정식을 만족하고, 초월수는 그렇지 않다.