√2는 단위 정사각형 대각선의 길이다. 한 변의 길이가 1인 정사각형을 놓으면, 한 꼭짓점에서 맞은편 꼭짓점까지의 거리가 정확히 √2다. 이것이 피타고라스 정리다: 1² + 1² = (√2)².
피타고라스 학파는 기원전 500년경 √2를 정수 p, q의 분수 p/q로 나타낼 수 없음을 발견했다. 귀류법 증명은 우아하다: √2 = p/q가 기약분수라고 가정하자. 그러면 2q² = p²이므로 p²은 짝수이고, 따라서 p도 짝수다. p = 2k로 쓰면 2q² = 4k², 즉 q² = 2k²이므로 q도 짝수다. 이는 p/q가 기약분수라는 가정에 모순된다. 따라서 √2는 무리수다.
연분수 [1; 2, 2, 2, …]의 수렴분수. 각 분수는 해당 분모에서 가장 정확한 유리수 근사다.
연분수로부터 구한 √2의 수렴값
| fraction | decimal | error |
|---|---|---|
| 1/1 | 1.000 | 0.41421 |
| 3/2 | 1.500 | 0.08579 |
| 7/5 | 1.400 | 0.01421 |
| 17/12 | 1.41667 | 0.00246 |
| 99/70 | 1.41429 | 0.0000849 |
√2는 대수적 수(x² = 2를 만족)이지만 무리수다. 삼각함수에서 sin(45°) = cos(45°) = 1/√2이다. A 용지 규격(A4, A3, A2…)은 1:√2 비율을 사용하여, 반으로 접어도 같은 비율이 유지된다. 정밀값: 1.41421356237309504880168872…
각 직각삼각형은 한 변이 이전 빗변과 같고 한 변이 1이다. 빗변은 √1, √2, √3, √4, √5… 대부분이 무리수다. √2(빨간색)는 기원전 500년경 피타고라스 학파가 처음으로 무리수임을 증명했다.
√2는 약 1.41421356237309504880이다. 기원전 500년경 고대 그리스인이 최초로 무리수임을 증명한 수다. x² = 2를 만족하는 대수적 수이며, 단위 정사각형의 대각선 길이, 평균율 음악 조율(반음마다 주파수에 2의 12제곱근을 곱함), A 용지 규격(A4를 접으면 A5, 같은 비율), 두 변이 같은 직각삼각형의 피타고라스 정리에 나타난다.
Square Root of 2 is irrational. Its decimal expansion never ends and never repeats. Every digit shown below is computed from the continued fraction.