드 무아브르의 정리는 단위원 위의 한 점을 n제곱하면 각도가 단순히 n배가 된다고 말한다. 각도 θ에서 시작해 그 연산을 n번 적용하면 각도 nθ에 도달한다. 이것이 복소수 연산의 기하학적 핵심이다.
단위원에서 θ=40°인 점에서 시작하자. 제곱하면 각도는 80°(초록), 세제곱하면 120°(빨강)가 된다. 점은 단지 회전할 뿐이며 원점까지의 거리는 1로 유지된다.
이 정리는 오일러 공식 e^(iθ) = cosθ + i sinθ 에서 즉시 따라온다. 양변을 n제곱하면 (e^(iθ))ⁿ = e^(inθ) = cos(nθ) + i sin(nθ) 이다. 드 무아브르는 1707년에 이 결과를 제시했는데, 이는 오일러가 공식을 발표하기 41년 전이었다. 그래서 당시에는 기계적인 계산이라기보다 마법 같은 통찰처럼 보였다.
6차 단위근은 단위원 위에서 정육각형을 이룬다. 일반적으로 z^n = 1 의 n차 근은 각도 2πk/n = τk/n 에 등간격으로 놓인 정n각형을 이룬다.
드 무아브르의 정리는 복소수의 거듭제곱과 근을 계산하고, 다중각 공식(cos 3θ = 4cos³θ - 3cosθ)을 유도하며, 어떤 복소수의 n개의 n제곱근을 등간격으로 찾는 핵심 도구다. 복소수의 대수와 회전의 기하학을 하나로 묶어 준다.
복소수 두 개를 곱하면 각도(편각)는 더해지고 크기는 곱해진다. 두 수가 모두 단위원 위에 있으면 크기는 바뀌지 않고 각도만 변한다. n번 곱한다는 것은 각도를 n번 더하는 것이고, 이것이 바로 드 무아브르의 정리다.
드 무아브르의 정리는 cos(nθ)가 언제나 cos(θ)의 다항식으로 쓸 수 있음을 보여 준다. 이것이 바로 체비쇼프 다항식 T_n이며, T_n(cos θ) = cos(nθ) 를 만족한다. 예를 들어 cos(2θ)=2cos²(θ)-1 이므로 T_2(x)=2x²-1 이다. 이 다항식들은 수치해석, 필터 설계, 근사 이론에 등장한다.