완전수는 자신을 제외한 모든 진약수의 합과 같은 수이다. 6 = 1+2+3. 28 = 1+2+4+7+14. 쳀체하게 희귀하다: 알려진 것은 51개뿐이며, 모두 짝수이고, 천문학적으로 커진다. 홀수 완전수가 존재하는지 여부는 수학에서 가장 오래된 미해결 문제 중 하나이다.
처음 네 개의 완전수: 약수 초상화
유클리드-오일러 정리: 짝수 완전수 ↔ 메르센 소수
n is even perfect ⟺ n = 2^(p−1) · (2^p − 1)
where 2^p − 1 is a Mersenne prime
Euclid proved the → direction. Euler proved ← . All 51 known perfect numbers are even and come from this formula. Whether odd perfect numbers exist is unknown.
로그 척도에서 본 완전수: 지수적보다 빠르게 증가
값은 log10으로 표시. 로그 척도에서도 각 도약은 극적으로 크다. 51번째 완전수는 4,900만 자리 이상이다.
완전수는 진약수의 합과 같다: 6 = 1+2+3, 28 = 1+2+4+7+14. 유클리드는 2^p-1이 소수일 때 2^(p-1)*(2^p-1)이 완전수임을 보였다. 오일러는 그 역을 증명했다: 모든 짝수 완전수는 이 형태이다. 홀수 완전수가 존재하는지는 가장 오래된 미해결 문제 중 하나이며, 하나도 발견된 적이 없다. 알려진 완전수는 51개뿐이며 모두 짝수로, 51개의 알려진 메르센 소수에 대응한다.