파이는 어떤 원의 둘레와 지름의 비다. 원의 크기와 상관없이 이 비율은 항상 정확히 같다: π = 3.14159265358979... 정의는 기하학적이지만 파이는 물리학, 확률, 공학, 수학의 모든 분야에 등장한다.
파이는 두 정수의 분수로 쓸 수 없다(1761년 요한 하인리히 람베르트가 증명). 또한 초월수다: 정수 계수 다항식의 해가 아니다(1882년 페르디난트 폰 린데만이 증명). 이는 컴퍼스와 자만으로 원의 넓이와 같은 정사각형을 만드는 것이 불가능함을 의미한다. 소수 전개는 끝나지 않으며 반복되지 않는다.
시라쿠사의 아르키메데스(기원전 약 250년)는 96변 다각형을 사용하여 파이가 3+10/71과 3+1/7 사이에 있음을 보였다. 바빌로니아인은 3.125를, 이집트인은 3.1605를 사용했다. π 기호는 1706년 웨일스 수학자 윌리엄 존스가 도입하고 오일러가 대중화했다. 2024년 기준 파이는 100조 자릿수 이상 계산되었다.
파이는 원을 훨씬 넘어 등장한다: 정규분포(종 곡선에 √(2π) 포함), 오일러 항등식 e^(iπ) + 1 = 0, 두 랜덤 정수가 공통 인수를 공유하지 않을 확률(6/π²), 스털링의 계승 근사 n! ≈ √(2πn)(n/e)ⁿ, 양자역학, 구의 부피 공식(4πr³/3).
π ≈ 3.14159265358979323846. 무리수(람베르트, 1761). 초월수(린데만, 1882). 파이의 날은 3월 14일(미국 날짜 형식 3/14). 분수 22/7은 파이를 0.04% 과대평가한다. 더 나은 근사 355/113은 소수점 이하 6자리까지 정확하다. 파이가 정규수인지(모든 자릿수 시퀀스가 같은 빈도로 나타남)는 알려지지 않았지만 널리 믿어진다.
아르키메데스는 96변 다각형을 사용하여 3 + 10/71 < π < 3 + 1/7, 즉 3.1408 < π < 3.1429임을 증명했다. 그는 π를 계산한 것이 아니라 가두었다. 이 방법은 원의 둘레가 두 다각형 둘레 사이에 있기 때문에 작동한다.
Pi is irrational. Its decimal expansion never ends and never repeats. Every digit shown below is computed from the leibniz formula.