바젤 문제는 1 + 1/4 + 1/9 + 1/16 + ⋯ 의 정확한 값이 무엇인지 묻는다. 급수는 수렴하지만 어디로 수렴할까? 피에트로 멩골리가 1650년에 제기했고, 84년 동안 모든 수학자를 좌절시킨 끝에 오일러가 1734년, 28세의 나이로 해결했다.
부분합은 천천히 π²/6 ≈ 1.6449에 접근한다. 오일러는 1734년에 그 극한이 π²/6임을 증명하며 해석학과 기하학을 연결했다.
오일러의 증명은 sin(x)/x의 테일러 급수를 그 영점 ±π, ±2π, ±3π…에 대한 무한곱으로 인수분해하는 것이었다. 곱 형태의 x² 계수와 테일러 계수를 비교하면 곧바로 Σ 1/n² = π²/6 이 나온다. 이는 수학에서 가장 유명한 계산 가운데 하나다. 여기서 π가 나타나는 것은 우연이 아니다. 원과 구는 리만 제타 함수를 통해 정수합과 자연스럽게 연결된다.
각 항 1/n²은 빠르게 작아진다. 이들의 합은 정확히 π²/6 ≈ 1.6449로 수렴한다.
이 결과는 더 일반화된다. ζ(4)=π⁴/90, ζ(6)=π⁶/945 이고, 모든 짝수 제타값은 π의 거듭제곱에 대한 유리배이다. 반면 홀수값 ζ(3), ζ(5), ζ(7)…은 훨씬 더 수수께끼 같다. 아페리는 1978년에 ζ(3)이 무리수임을 증명했지만, π로 표현되는 닫힌형은 아직 알려져 있지 않다.
서로 임의로 뽑은 두 정수가 공약수를 갖지 않을 확률, 즉 서로소일 확률은 정확히 6/π²이며, 이는 π²/6의 역수다. 값으로는 약 60.8%이다. 이 사실은 바젤 문제를 수론과 확률론에 직접 연결한다.