미적분학의 기본정리는 겉보기에는 별개인 두 아이디어를 연결한다. 제1부는 어떤 함수를 고정된 점에서 x까지 적분해 얻은 함수의 도함수가 원래 함수라는 내용이다. 제2부는 f의 a부터 b까지의 정적분이, f의 아무 원시함수 F에 대해 F(b)-F(a)와 같다는 내용이다.
∫₀² x² dx = [x³/3]₀² = 8/3 − 0 = 8/3 ≈ 2.667. 원시함수 F(x)=x³/3 를 사용하면 근사 없이 정확한 넓이를 얻는다.
이 정리가 나오기 전에는 넓이를 구하려면 리만 합이 필요했다. 영역을 가느다란 직사각형들로 나누고, 모두 더한 뒤, 극한을 취해야 했다. 기본정리는 이 모든 과정을 단 한 번의 뺄셈으로 바꿔 준다. 뉴턴은 1666년경 이를 이해했고 라이프니츠도 1675년에 독립적으로 발견했다. 두 사람의 우선권 논쟁은 한 세대 동안 영국과 유럽 대륙의 수학을 갈라놓았다.
미적분 수업에서 배우는 거의 모든 적분 계산은 제2부를 사용한다. 원시함수를 찾고, 양 끝점에서 값을 넣고, 빼면 된다. 이것이 가능한 이유는 미분과 적분이 정확히 서로의 역연산이기 때문이다. 이는 수학 전체에서 가장 깊고도 실용적인 결과 가운데 하나다.
직사각형 8개를 쓴 리만 합은 대략값만 준다. 미적분학의 기본정리는 이런 직사각형 없이도 정확한 값을 준다.
변하는 힘 F(x)가 a에서 b까지 이동시킨 일은 W = ∫ₐᵇ F(x) dx 로 주어진다. 잠재에너지 함수 P가 P' = -F 를 만족하면 이는 P(b) - P(a)와 같다. 속도를 적분하면 변위가 되고, 힘을 적분하면 충격량이 된다. 기본정리는 이런 계산을 무한한 리만 합이 아니라 닫힌식으로 처리할 수 있게 해 준다.