모든 실수에는 가장 좋은 유리근사들이 있다. 즉 분모가 더 작은 어떤 분수보다도 x에 더 가까운 p/q 들이다. 이들의 분모 q₁, q₂, q₃, … 는 커지는데, 얼마나 빠르게 커질까? 폴 레비는 1935년에 거의 모든 실수에 대해 qₙ^(1/n)이 e^β ≈ 3.27582 로 수렴함을 보였다. 여기서 β = π²/(12 ln 2) 이다.
거의 모든 실수에 대해 ln(qₙ)은 기울기 β ≈ 1.1865를 갖고 선형적으로 증가한다. π의 수렴분수 분모(1, 7, 106, 113, 33102…)는 부분몫 292의 영향으로 평균보다 더 빠르게 자란다.
황금비 φ = [1;1,1,1,…] 는 분모가 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, … 인 피보나치 수로 자라며, 성장률은 단계당 φ ≈ 1.618 이다. 이는 e^β ≈ 3.276보다 훨씬 느리다. 그래서 φ는 “가장 무리수다운” 수라고 불린다. 좋은 근사가 가장 느리게 개선되기 때문이다. 대부분의 수는 그보다 훨씬 빠른 e^β의 비율로 분모가 커진다.
황금비와 전형적인 수의 수렴분수 분모 성장률을 비교한 그림
| φ = [1;1,1,1,…] | Typische Zahl |
|---|---|
| qₙ wächst wie φⁿ ≈ 1,618ⁿ | qₙ wächst wie (e^β)ⁿ ≈ 3,276ⁿ |
| Langsamstmögliches Wachstum | Lévys Satz |
β = π²/(12 ln 2) 라는 값은 가우스-쿠즈민 분포를 적분하면 나타난다. ln 2는 2진법을 사용하는 과정에서 나오고, π²는 ζ(2)=π²/6 과 같은 출처에서 나온다. 레비 상수의 값은 1.1865691104156254… 이고, e^β = 3.275822918721811159787681882… 이다.
다섯 번째 단계의 큰 부분몫 292 때문에 π의 분모는 평균보다 훨씬 빠르게 증가한다. 전형적인 수에서는 ln(qₙ)/n → β ≈ 1.187 이다.
| n | Teilnenner aₙ | Konvergente pₙ/qₙ | Nenner qₙ | ln(qₙ)/n |
|---|---|---|---|---|
| 1 | 3 | 3/1 | 1 | 0,00 |
| 2 | 7 | 22/7 | 7 | 0,97 |
| 3 | 15 | 333/106 | 106 | 1,55 |
| 4 | 1 | 355/113 | 113 | 1,19 |
| 5 | 292 | 103993/33102 | 33102 | 2,52 |
| 6 | 1 | 104348/33215 | 33215 | 1,74 |
| 7 | 1 | 208341/66317 | 66317 | 1,54 |
레비 상수 β = π²/(12 ln 2) ≈ 1.18657 이다. 거의 모든 실수에 대해 n번째 수렴분수의 분모 q_n은 q_n^(1/n) → e^β ≈ 3.27582 를 만족한다. 폴 레비가 1935년에 증명했다. 피보나치 분모가 φ ≈ 1.618의 속도로 자라는 황금비는 평균보다 훨씬 아래에 있으며, 이 때문에 가장 근사하기 어려운 수임이 다시 확인된다. 이 공식은 π와 ln 2를 함께 포함하여, 원의 기하와 로그를 가우스-쿠즈민 분포를 통해 연결한다.