φ(파이)는 x² = x + 1의 양의 해다. 이 방정식은 기하학적 의미를 갖는다: 선분을 나누어 전체 대 큰 부분의 비율이 큰 부분 대 작은 부분의 비율과 같게 하면, 그 비율이 φ다. 이런 자기유사 성질을 가진 수는 φ뿐이다.
피보나치 비가 황금비로 수렴하는 표
| Fib pair | ratio | distance to φ |
|---|---|---|
| 1, 1 | 1.000 | 0.618 |
| 2, 3 | 1.500 | 0.118 |
| 8, 13 | 1.625 | 0.007 |
| 55, 89 | 1.61818… | 0.00015 |
| → ∞ | 1.61803… | 0 |
황금비는 정오각형과 별 모양에 나타나는데, 대각선이 서로 황금비로 교차한다. 모든 피보나치 수를 이전 수로 나누면 φ에 수렴한다. 연분수 [1; 1, 1, 1, …]은 가장 단순한 무한 연분수다: 모두 1. 이것이 φ를 분수로 근사하기 가장 어려운 수로 만들어, 가장 무리적인 수라는 칭호를 얻게 한다.
황금 직사각형에서 정사각형을 잘라낸다. 남은 조각은 1/φ만큼 작은 또 다른 황금 직사각형이다. 영원히 반복. 호는 조개와 은하에서 보이는 황금 나선을 그린다.
φ는 φ² = φ + 1을 만족하므로 φ = 1 + 1/φ. 반복 대입하면: φ = 1 + 1/(1 + 1/(1 + …)). 모두 1인 이 무한 연분수는 정의이자 가장 무리적인 지위의 이유다. 정밀 계산값: 1.61803398874989484820…
변의 길이가 1인 정오각형에서 모든 대각선의 길이는 φ ≈ 1.618이다. 대각선들은 서로를 황금비로 나눈다. 다섯 대각선을 모두 그리면 오각별이 되며, 그 자체가 황금 비례로 가득하다.
황금비 φ는 약 1.61803398874989484820이다. x² = x + 1의 양의 해다. φ는 무리수이며, 대수적이고, 연속 피보나치 수의 극한 비율이다. 정오각형과 정이십면체, 해바라기 씨 나선, 그리고 고대 그리스 이후 연구된 비례에 나타난다. 연분수 [1; 1, 1, 1, ...]은 분수로 가장 근사하기 어려운 실수로 만들며, 이것이 엽서열이 φ에서 파생된 황금각을 사용하는 이유다.
Golden Ratio φ is irrational. Its decimal expansion never ends and never repeats. Every digit shown below is computed from the quadratic formula.