수학은 다섯 가지 주요 수 체계를 구축했으며, 각각은 이전 체계의 확장이다. 모든 확장은 해가 없는 방정식에 의해 동기부여되었다: “3-5는 무엇인가?”는 정수를 만들었고, “1/3은 무엇인가?”는 유리수를 만들었고, “sqrt(2)는 무엇인가?”는 실수를 만들었고, “sqrt(-1)은 무엇인가?”는 복소수를 만들었다.
수 체계를 확장할 때 얻는 성질과 잃는 성질을 보여주는 표
| SYSTEM | GAINED | LOST/CHANGED |
|---|---|---|
| N (naturals) | counting, +, x | no subtraction |
| Z (integers) | subtraction, negatives | no division |
| Q (rationals) | division, fractions | no sqrt(2) |
| R (reals) | all limits, sqrt(2), pi | no sqrt(-1) |
| C (complex) | all polynomial roots | algebraically closed |
| H (quaternions) | 3D rotations | ab not = ba |
| Each extension is a genuine enlargement, not just renaming |
파란색: 자연수 ℕ. 초록색은 0을 추가. 보라색은 음의 정수 ℤ로 확장. 주황색은 분수 ℚ를 추가. 빨간색: 무리수가 ℝ의 나머지를 채운다.
수학에는 다섯 가지 주요 수 체계가 있다: 자연수 N(셈기, 뮬셈 불가), 정수 Z(뮬셈과 음수 추가), 유리수 Q(나눗셈 추가), 실수 R(극한과 무리수 추가), 복소수 C(sqrt(-1) 추가). 각 확장은 이전 체계에서 풀 수 없는 방정식을 해결했다. 복소수는 대수적으로 닫혀 있다: 모든 다항식 방정식은 C 안에서 해를 가진다. 포함은 엄밀하다: N ⊂ Z ⊂ Q ⊂ R ⊂ C이며, 초월수가 R의 바깥쪽 고리를 채운다.