ζ(3)은 리만 제타 함수의 3에서의 값으로, 모든 양의 정수에 대해 1/n³을 더한 합이다. 짝수 입력에 대해서는 오일러가 아름다운 닫힌형을 발견했다. 예를 들어 ζ(2)=π²/6, ζ(4)=π⁴/90, ζ(6)=π⁶/945 이다. 그러나 홀수 입력에서는 그런 공식이 알려져 있지 않다. ζ(3)에 π가 실제로 들어가는지조차 아직 모른다.
ζ(3)은 π를 포함하는 닫힌형이 알려진 두 값 사이에 놓여 있다. ζ(3)에 π가 실제로 들어가는지는 아직 알 수 없다.
1978년 로제 아페리는 ζ(3)이 무리수라는 증명을 발표했다. 청중은 처음에 회의적이었다. 앙리 코앙을 비롯한 수학자들은 밤새 컴퓨터로 검산했고, 다음 날 아침 그것이 옳다는 사실을 확인했다. 한 참석자는 이를 두고 “맑은 하늘의 천둥 같았다”고 말했다. 당시 아페리의 나이는 64세였다.
부분합 1 + 1/8 + 1/27 + 1/64…은 아래에서부터 ζ(3) ≈ 1.20206에 접근한다. 수렴은 느려서 n=50에서도 합은 아직 약 0.003만큼 모자란다.
ζ(3)을 π로 표현할 수 있는지가 이 분야의 대표적인 미해결 문제다. 모든 짝수 제타값은 해당하는 π의 거듭제곱에 대한 유리배로 나타난다. 하지만 홀수 제타값은 전혀 다른 세계에 있는 것처럼 보인다. 무한히 많은 홀수값 ζ(2n+1)이 무리수라는 사실은 알려져 있지만(Rivoal, 2000), 정확한 패턴은 여전히 수수께끼다. 전체 값은 1.20205690315959428539973816151144999… 이다.
모든 짝수 k에 대해 ζ(2k)=유리수 × π^(2k) 이다. 오일러는 이 사실을 모든 짝수값에 대해 증명했다. 그러나 ζ(3), ζ(5), ζ(7)…은 완전히 다르다. ζ(3)은 무리수이지만(아페리) π와의 관계는 아직 알려져 있지 않다. 어쩌면 π와 진정으로 독립적인 수일 수도 있다.
짝수 정수의 제타값은 π의 분수배로 알려져 있지만 홀수 정수에서는 아직 알려져 있지 않음을 보여 주는 표
| Gerade s: exakte Formeln | Ungerade s: Rätsel |
|---|---|
| ζ(2) = π²/6 | ζ(3) = 1,20206... |
| ζ(4) = π⁴/90 | irrational (Apéry 1978) |
| ζ(6) = π⁶/945 | ζ(5) = 1,03693... |
| ζ(8) = π⁸/9450 | irrational? unbekannt |
| Alle = rational × π^s | Keine bekannte π-Verbindung |
아직 모른다. 로제 아페리는 1978년에 ζ(3)이 무리수임을 증명했지만, 그것이 초월수인지는 여전히 미해결 문제다. 많은 수학자들은 초월수일 것이라 믿지만, 아직 증명은 없다.
양자전기역학의 전자 자기모멘트 보정, 랜덤 행렬 이론, 2차원 이징 모형의 엔트로피 등에 등장한다. 또한 통계역학의 페르미-디랙 분포와 보스-아인슈타인 분포에도 나타난다.
라마누잔은 ζ(3)에 대해 매우 빠르게 수렴하는 급수들을 발견했는데, 그중에는 7π³/180과 지수합이 함께 들어가는 공식도 있다. 그의 노트에는 ζ(3)과 관련된 수십 개의 항등식이 있었고, 그 대부분은 그가 사망한 뒤 수십 년이 지나서야 증명되었다.
아페리 수는 A(n)=Σ C(n,k)^2 C(n+k,k)^2 로 정의되는 정수열로, 아페리의 무리수성 증명에 등장한다. 처음 몇 항은 1, 5, 73, 1445, 33001이다. 이 수열은 점화식을 만족하며, 1/n^3의 부분합 분모에서 특정 인수들이 상쇄되도록 만드는 방식으로 성장해 극한이 무리수임을 강제한다.
아페리 상수 ζ(3)은 1 + 1/8 + 1/27 + 1/64 + … = 1.20205690315959 이다. 짝수 s 값에서는 오일러가 π를 포함하는 닫힌형을 찾았다. 예를 들어 ζ(2)=π²/6, ζ(4)=π⁴/90 이다. 하지만 홀수값에는 그런 공식이 알려져 있지 않다. 로제 아페리는 1978년, 64세의 나이에 ζ(3)이 무리수임을 증명했다. 이것이 초월수인지, 혹은 π로 표현될 수 있는지는 여전히 미지수다.