조화급수 1 + 1/2 + 1/3 + 1/4 + ⋯ 는 발산하지만 성장 속도는 놀라울 정도로 느리다. 백만 항을 더해도 겨우 14를 조금 넘을 뿐이다. 자연로그 ln(n)은 같은 속도로 자란다. 오일러-마스케로니 상수 γ는 이 둘 사이의 정확한 차이이며, γ = lim (1 + 1/2 + 1/3 + ⋯ + 1/n) - ln(n) 으로 정의된다.
조화합과 ln(n)의 차이는 n → ∞ 일 때 γ ≈ 0.5772 로 수렴한다. 수렴은 매우 느려서 n=1000에서도 차이는 여전히 약 0.001이다.
γ는 해석학과 수론 전반에 나타난다. 형식적으로는 γ = -ζ'(1) 과 연결되고, 감마 함수에서는 Γ'(1) = -γ 를 만족한다. 소수 간격의 분포, 베셀 함수, 디감마 함수의 점근 전개 등에도 등장한다.
γ가 유리수인지 무리수인지는 수학에서 가장 오래된 미해결 문제 가운데 하나다. 거의 모든 수학자는 γ가 초월수일 것이라 믿지만, 아직 증명은 없다. 현재는 6000억 자리 이상까지 계산되었으며, 값은 0.57721566490153286060651209008240243… 이다.
조화 부분합 H(n) (계단형)과 ln(n)+γ (매끄러운 곡선)의 비교. 둘의 차이는 0으로 가는 것이 아니라 H(n)−ln(n) → γ 로 수렴한다.
오일러-마스케로니 상수 γ는 약 0.57721566490153286060이다. 이것이 유리수인지 무리수인지는 아직 알려져 있지 않으며, 수학의 가장 유명한 미해결 문제 가운데 하나다. 오일러는 1734년에 이 상수를 발표했고, 마스케로니는 1790년에 독립적으로 계산했다. γ는 감마 함수, 리만 제타 함수, 메르텐스의 소수곱 정리, 베셀 함수, 소수 간격의 분포 등에 나타난다. 자릿수를 즉석 생성하는 스트리밍 알고리즘이 없기 때문에, 실제 계산값은 미리 계산해 저장해 둔다.
Euler-Mascheroni Constant γ is irrational. Its decimal expansion never ends and never repeats. Every digit shown below is computed from the harmonic-logarithm limit.