n 이하의 모든 소수의 역수를 더하면: 1/2 + 1/3 + 1/5 + 1/7 + ⋯ + 1/p. 이 합은 증가하지만 극도로 느리게, ln(ln(n))의 속도로 증가한다. 메이셀-메르텐스 상수 M은 이 합과 그 주도 항 사이의 정확한 차이이며, 오일러-마스케로니 상수 γ가 조화 급수와 ln(n) 사이의 차이인 것과 같은 역할을 한다.
오일러는 1737년에 모든 소수 역수의 합이 발산함을 증명했다. 이는 소수가 무한히 많다는 것을 증명하는 것보다 훨씬 어렵고, 소수가 얼마나 조밀한지 정량적으로 보여준다. 메르텐스의 정리는 Σ(p≤n) 1/p = ln(ln(n)) + M + O(1/log n)임을 보여주며, M은 정확한 상수항이다.
오일러-마스케로니 상수와 메이셀-메르텐스 상수의 나란한 비교
| Euler-Mascheroni γ | Meissel-Mertens M |
|---|---|
| Σ 1/n − ln(n) → 0.5772 | Σ 1/p − ln(ln n) → 0.2615 |
| All integers | Primes only |
M과 γ는 M = γ + Σₙ(ln(1−1/p) + 1/p)로 관련된다. 두 상수 중 어느 것이 무리수인지는 알려져 있지 않다. 둘 다 수십억 자릿까지 계산되었고 초월수로 추측되지만, 어느 쪽도 증명된 바 없다. M: 0.261497212847642783755426838608669…
조화급수(파란색): 2.93, 5.19, 7.49, 9.79. 소수 역수합(ln(ln(n))+M처럼 증가): 같은 지점에서 0.84, 1.18, 1.52, 1.85에 불과.
오일러-마스케로니 상수 γ는 조화 급수(1 + 1/2 + 1/3 + … + 1/n)와 ln(n) 사이의 차이를 측정한다. 메이셀-메르텐스 상수 M은 소수 역수의 합(1/2 + 1/3 + 1/5 + … + 1/p)과 ln(ln(n))에 대해 같은 역할을 한다. 둘 다 로그 속도로 증가하는 발산 급수의 "오차 보정" 상수이다.
메이셀-메르텐스 상수 M ≈ 0.26149는 조화 급수에서의 오일러-마스케로니 상수와 같은 역할을 소수 역수에 대해 한다. 메르텐스는 1874년에 1/2 + 1/3 + 1/5 + … + 1/p = ln(ln(n)) + M + 소오차임을 증명했다. M이 무리수인지는 알려져 있지 않다. M은 소수 곱에 대한 메르텐스 정리와 부드러운 수의 밀도에 등장한다. M과 γ는 모든 소수에 대한 특정 합으로 관련된다.