모든 직각삼각형에서 빗변(직각의 맞은편 변)의 제곱은 다른 두 변의 제곱의 합과 같습니다. 두 변이 a와 b이고 빗변이 c이면 a² + b² = c²입니다. 3-4-5 삼각형은 9 + 16 = 25를 만족합니다.
a² + b² = c². 3-4-5 삼각형: 9 + 16 = 25. 파란색과 빨간색 정사각형의 넓이의 합이 초록색 정사각형의 넓이와 같습니다.
기원전 1900년의 바빌로니아 점토판에는 피타고라스 세쌍둥이 (3,4,5), (5,12,13), (8,15,17)이 기록되어 있어, 이 결과가 피타고라스보다 훨씬 이전에 경험적으로 알려져 있었음을 보여줍니다. 그의 학파(기원전 약 570년)가 최초의 증명을 제시했습니다. 현재 대수적, 기하학적, 삼각함수적 증명을 포함하여 370개 이상의 서로 다른 증명이 알려져 있으며, 미국 대통령 제임스 가필드가 1876년에 발표한 증명도 있습니다.
피타고라스 세쌍둥이 표
| a | b | c | a²+b²=c² |
|---|---|---|---|
| 3 | 4 | 5 | 9+16=25 ✓ |
| 5 | 12 | 13 | 25+144=169 ✓ |
| 8 | 15 | 17 | 64+225=289 ✓ |
| 7 | 24 | 25 | 49+576=625 ✓ |
n차원에서: 원점에서 (x₁, x₂, …, xₙ)까지의 거리는 √(x₁² + x₂² + ⋯ + xₙ²)입니다. 페르마의 마지막 정리(358년 만에 1995년 앤드루 와일스가 증명)에 따르면 n이 2보다 클 때 aⁿ + bⁿ = cⁿ의 정수 해는 존재하지 않습니다. 피타고라스 정리는 무한히 많은 정수 해를 가진 n=2인 경우입니다.
두 큰 정사각형 모두 (a+b)×(a+b)입니다. 둘 다 네 개의 동일한 직각삼각형을 포함합니다. 왼쪽 정사각형에서 남는 부분은 c²이고, 오른쪽 정사각형에서 남는 부분은 a²+b²입니다. 따라서 이 둘은 같아야 합니다.
모든 직각삼각형에서: a^2 + b^2 = c^2. 기원전 1800년경 바빌로니아인들이 경험적으로 알고 있었으며, 기원전 약 570년 피타고라스 학파가 최초로 증명했습니다. 미국 대통령 제임스 가필드의 1876년 증명을 포함하여 370개 이상의 서로 다른 증명이 존재합니다. 정수 해는 피타고라스 세쌍둥이이며 모든 세쌍둥이는 (m^2-n^2, 2mn, m^2+n^2)로 생성됩니다. 페르마의 마지막 정리(와일스, 1995년 증명)에 따르면 2보다 큰 지수에 대해서는 유사한 정수 해가 존재하지 않습니다. 이 정리는 n차원에서 유클리드 거리 공식으로 확장됩니다.