스털링 근사에 따르면, 큰 n에 대해 n! ≈ √(2πn) · (n/e)ⁿ입니다. 순열을 세는 공식에 π와 e가 모두 나타나는 것은 놀랍습니다. n = 10일 때 오차는 1% 미만이고, n = 100일 때는 0.1% 미만입니다. n이 커질수록 공식의 정확도는 한없이 향상됩니다.
상대 오차 |n! − Stirling(n)| / n!은 n = 8에서 1% 미만, n = 80에서 0.1% 미만으로 떨어집니다. 큰 n에서 스털링은 사실상 정확합니다.
아브라함 드 무아브르는 1730년에 n! ≈ C·√n·(n/e)ⁿ임을 발견했으며, 여기서 C는 어떤 상수입니다. 제임스 스털링은 같은 해에 C = √(2π)임을 밝혔습니다. √(2π)는 가우스 적분에서 비롯됩니다: 감마 함수를 통해 스털링을 유도할 때 적분 ∫e^(-t²)dt = √π가 나타나며 π가 공식에 들어갑니다.
로그 형태는 물리학 전반에서 사용됩니다: 통계역학에서 볼츠만의 엔트로피 공식 S = k·ln(W)는 거대한 N(입자의 몰 수)에 대해 ln(N!)이 필요합니다. 스털링은 ln(N!) ≈ N·ln(N) - N을 제공하여 계산을 가능하게 합니다. 완전한 점근 급수는 보정항을 추가합니다: n! = √(2πn)(n/e)ⁿ · exp(1/(12n) - 1/(360n³) + ⋯)
로그 스케일에서 n!과 스털링 근사는 시각적으로 동일합니다. 상대 오차는 n이 커질수록 0에 접근합니다.