테일러 급수는 매끄러운 함수를 무한 다항식으로 표현합니다. 각 계수는 도함수입니다: n번째 항은 f⁽ⁿ⁾(a)/n! 곱하기 (x-a)ⁿ입니다. eˣ, sin(x), cos(x)와 같이 잘 정의된 함수의 경우, 급수는 모든 곳에서 정확한 함수값에 수렴합니다.
sin(x) = x − x³/3! + x⁵/5! − x⁷/7! + … 항을 추가할 때마다 원점에서 더 먼 곳까지 정확도가 확장됩니다.
가장 중요한 세 가지 매클로린 급수: eˣ = 1 + x + x²/2! + x³/3! + ⋯ (모든 곳에서 수렴); sin(x) = x - x³/3! + x⁵/5! - ⋯ (모든 곳에서 수렴); cos(x) = 1 - x²/2! + x⁴/4! - ⋯ (모든 곳에서 수렴). eˣ 급수에 x = iπ를 대입하면 오일러 항등식이 나옵니다.
매클로린 급수 표
| f(x) | Series | Radius |
|---|---|---|
| eˣ | 1+x+x²/2!+x³/3!+⋯ | ∞ |
| sin x | x-x³/3!+x⁵/5!-⋯ | ∞ |
| cos x | 1-x²/2!+x⁴/4!-⋯ | ∞ |
| ln(1+x) | x-x²/2+x³/3-⋯ | |x|≤1 |
| 1/(1-x) | 1+x+x²+x³+⋯ | |x|<1 |
브룩 테일러는 1715년에 일반 정리를 발표했고, 0을 중심으로 한 특수한 경우는 1742년 콜린 매클로린에 의해 대중화되었습니다. 모든 계산기와 컴퓨터는 초월 함수를 계산할 때 테일러 급수를 사용합니다. n개 항 후의 오차는 라그랑주 나머지에 의해 한정됩니다: |f(x) - Pₙ(x)| ≤ max|f⁽ⁿ⁺¹⁾| · |x-a|ⁿ⁺¹ / (n+1)!
cos(x) ≈ 1 − x²/2 + x⁴/24 − x⁶/720 + … 항 쌍을 추가할 때마다 정확도가 한 단계 더 향상됩니다.
테일러 급수는 매끄러운 함수를 무한 다항식으로 표현합니다: f(x) = f(a) + f'(a)(x-a) + f''(a)(x-a)^2/2! + ... 계수는 중심점 a에서의 도함수입니다. 매클로린 급수는 0을 중심으로 합니다. 세 가지 핵심 급수는 모든 곳에서 수렴합니다: e^x = 1 + x + x^2/2! + ..., sin(x) = x - x^3/3! + x^5/5! - ..., cos(x) = 1 - x^2/2! + x^4/4! - ... e^x 급수에 x = iπ를 대입하면 오일러 항등식이 증명됩니다. 모든 계산기는 초월 함수를 계산할 때 내부적으로 테일러 급수를 사용합니다.