ln 2 — это натуральный логарифм числа 2, то есть степень, в которую нужно возвести e, чтобы получить 2. Геометрически ln 2 равен площади под кривой y = 1/x от x = 1 до x = 2. Численно это означает, что 2,71828… в степени 0,69314… даёт ровно 2.
∫₁² 1/x dx = ln(2) − ln(1) = ln 2 ≈ 0,6931. Так определяется натуральный логарифм: ln(a) — это площадь под 1/x от 1 до a.
ln 2 — это константа периода полураспада. Любая величина, которая убывает вдвое с постоянной скоростью, подчиняется закону N(t) = N₀ · e^(-λt). Тогда период полураспада равен t₁/₂ = ln(2)/λ ≈ 0,693/λ. Это работает для радиоактивного распада, выведения лекарств из крови, разрядки конденсатора и остывания кофе.
1 - 1/2 + 1/3 - 1/4 + ... сходится к ln 2 ≈ 0,6931 и колеблется вокруг предела. Сходимость медленная, каждый второй член переходит через предел.
ln 2 трансцендентно согласно теореме Линдемана — Вейерштрасса 1885 года. В теории информации оно переводит натсы в биты: 1 бит = ln(2) нат ≈ 0,693 нат. Ряд 1 - 1/2 + 1/3 - 1/4 + ⋯ сходится к ln 2, поэтому эта константа соединяет логарифмы, анализ и информацию.
N(t) = N₀ · 2^(−t/t½) = N₀ · e^(−t·ln2/t½). ln 2 ≈ 0,693 — это константа распада. После одного периода полураспада остаётся 50 процентов, после десяти — только 0,1 процента.
Натуральный логарифм 2 приблизительно равен 0,69314718055994530941. Он иррационален и трансцендентен. ln 2 — это площадь под гиперболой y = 1/x от 1 до 2. Это также константа периода полураспада, потому что любая величина, убывающая вдвое с постоянной скоростью, имеет t₁/₂ = ln(2)/λ. В теории информации 1 бит соответствует ln(2) натам. Кроме того, знакочередующийся гармонический ряд сходится к ln 2.
Natural Log of 2 is irrational. Its decimal expansion never ends and never repeats. Every digit shown below is computed from the alternating harmonic series.