Базельская задача спрашивает о точном значении суммы 1 + 1/4 + 1/9 + 1/16 + ⋯. Ряд сходится, но к чему именно? Пьетро Менголи сформулировал этот вопрос в 1650 году. Он ставил математиков в тупик 84 года, пока в 1734 году его не решил Эйлер в возрасте 28 лет.
Частичные суммы медленно приближаются к π²/6 ≈ 1,6449. В 1734 году Эйлер доказал, что предел равен точно π²/6, тем самым связав анализ и геометрию.
В доказательстве Эйлер раскладывает ряд Тейлора для sin(x)/x в бесконечное произведение по его нулям ±π, ±2π, ±3π… Сравнивая коэффициент при x² в произведении с коэффициентом в ряде Тейлора, он непосредственно получает Σ 1/n² = π²/6. Это одно из самых знаменитых вычислений в математике. Появление π здесь не случайно: окружности и сферы естественным образом связаны с суммами по целым числам через функцию Римана ζ.
Каждый член 1/n^2 быстро уменьшается. Их сумма точно сходится к π^2/6 ≈ 1,6449.
Результат обобщается: ζ(4) = π⁴/90, ζ(6) = π⁶/945, и все чётные значения дзета-функции являются рациональными кратными степеней π. Нечётные значения ζ(3), ζ(5), ζ(7)… куда загадочнее. В 1978 году Апери доказал, что ζ(3) иррациональна, но замкнутая форма через π неизвестна.
Вероятность того, что два случайно выбранных целых числа взаимно просты, то есть не имеют общего делителя, равна ровно 6/π² — это обратная величина к π²/6. Это примерно 60,8 процента. Так Базельская задача напрямую связывает анализ с теорией чисел и вероятностью.
Пи · Функция Римана ζ · Апери