Гармонический ряд 1 + 1/2 + 1/3 + 1/4 + ⋯ расходится, но растёт невероятно медленно. После миллиона членов он едва достигает 14. Натуральный логарифм ln(n) растёт с той же скоростью. Константа Эйлера — Маскерони γ — это в точности расстояние между ними: γ = lim (1 + 1/2 + 1/3 + ⋯ + 1/n) - ln(n).
Разность между гармонической суммой и ln(n) при n → ∞ стремится к числу γ ≈ 0,5772. Сходимость очень медленная: при n = 1000 зазор всё ещё составляет около 0,001.
γ возникает во многих местах анализа и теории чисел. Она связывает гармонический ряд с функцией Римана ζ: формально γ = -ζ′(1). Она появляется в гамма-функции через Γ′(1) = -γ, в распределении промежутков между простыми числами, в функциях Бесселя и в асимптотике дигамма-функции.
Вопрос о том, рациональна γ или иррациональна, относится к старейшим открытым проблемам математики. Почти все математики считают её трансцендентной, но доказательства нет. Её вычислили более чем до 600 миллиардов десятичных знаков: 0,57721566490153286060651209008240243…
Гармонические частичные суммы H(n), красные и ступенчатые, сравниваются с ln(n)+γ, синей гладкой кривой. Расстояние между ними стремится к 0, но колеблется: H(n)−ln(n) → γ.
Константа Эйлера — Маскерони γ примерно равна 0,57721566490153286060. Неизвестно, рациональна она или иррациональна; это один из самых знаменитых открытых вопросов математики. Эйлер впервые опубликовал её в 1734 году, Маскерони независимо вычислил её снова в 1790-м. γ появляется в гамма-функции, в функции Римана ζ, в теореме Мертенса о произведениях по простым, в функциях Бесселя и в распределении промежутков между простыми. Поскольку потокового алгоритма для её цифр не известно, её десятичные знаки предварительно вычисляют и хранят.
Euler-Mascheroni Constant γ is irrational. Its decimal expansion never ends and never repeats. Every digit shown below is computed from the harmonic-logarithm limit.