У каждого вещественного числа есть наилучшие рациональные приближения, то есть дроби p/q, которые ближе к x, чем любая дробь с меньшим знаменателем. Знаменатели q₁, q₂, q₃, … растут. Но с какой скоростью? Поль Леви доказал в 1935 году, что почти для любого вещественного числа qₙ^(1/n) стремится к e^β ≈ 3,27582, где β = π²/(12 ln 2).
Для почти всех вещественных чисел ln(qₙ) растёт линейно с наклоном β ≈ 1,1865. У π знаменатели конвергентов 1, 7, 106, 113, 33102… в среднем растут быстрее из-за необычного неполного частного 292.
Золотое сечение φ = [1;1,1,1,…] имеет знаменатели Фибоначчи 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, …, которые растут всего лишь со скоростью φ ≈ 1,618 на шаг. Это гораздо медленнее, чем e^β ≈ 3,276. Именно поэтому φ считается числом, которое хуже всего приближается рациональными числами, то есть самым «иррациональным». У большинства чисел знаменатели растут намного быстрее — со скоростью e^β.
Сравнение роста знаменателей у золотого сечения и у типичного числа.
| φ = [1;1,1,1,…] | Типичное число |
|---|---|
| qₙ wächst wie φⁿ ≈ 1,618ⁿ | qₙ wächst wie (e^β)ⁿ ≈ 3,276ⁿ |
| Langsamstmögliches Wachstum | Lévys Satz |
Значение β = π²/(12 ln 2) получается интегрированием распределения Гаусса — Кузьмина. ln 2 приходит из вычислений в двоичной системе, а π² появляется из тех же источников, что и в ζ(2) = π²/6. Константа Леви равна 1,1865691104156254… а e^β = 3,275822918721811159787681882…
Неполное частное 292 на шаге 5 заставляет знаменатели у π расти заметно быстрее среднего. Для типичного числа верно, что ln(qₙ)/n → β ≈ 1,187.
| n | Неполное частное aₙ | Конвергент pₙ/qₙ | Знаменатель qₙ | ln(qₙ)/n |
|---|---|---|---|---|
| 1 | 3 | 3/1 | 1 | 0,00 |
| 2 | 7 | 22/7 | 7 | 0,97 |
| 3 | 15 | 333/106 | 106 | 1,55 |
| 4 | 1 | 355/113 | 113 | 1,19 |
| 5 | 292 | 103993/33102 | 33102 | 2,52 |
| 6 | 1 | 104348/33215 | 33215 | 1,74 |
| 7 | 1 | 208341/66317 | 66317 | 1,54 |
Константа Леви β = π²/(12 ln 2) ≈ 1,18657. Почти для любого вещественного числа знаменатель qₙ n-го конвергента удовлетворяет qₙ^(1/n) → e^β ≈ 3,27582. Поль Леви доказал это в 1935 году. Золотое сечение с его знаменателями Фибоначчи и скоростью роста φ ≈ 1,618 лежит далеко ниже среднего и тем самым подтверждает свою репутацию числа, которое труднее всего рационально приблизить. В этой формуле через распределение Гаусса — Кузьмина встречаются и π, и ln 2, связывая геометрию окружности с логарифмами.