φ, читается «фи», — положительное решение уравнения x² = x + 1. У этого уравнения есть геометрический смысл: если разделить отрезок так, что весь отрезок относится к большей части так же, как большая часть к меньшей, то это отношение равно φ. Никакое другое число не обладает именно такой самоподобностью.
Таблица отношений чисел Фибоначчи, приближающихся к φ.
| Пара Фибоначчи | Отношение | Расстояние до φ |
|---|---|---|
| 1, 1 | 1,000 | 0,618 |
| 2, 3 | 1,500 | 0,118 |
| 8, 13 | 1,625 | 0,007 |
| 55, 89 | 1,61818… | 0,00015 |
| → ∞ | 1,61803… | 0 |
Золотое сечение появляется в правильном пятиугольнике и пентаграмме, где диагонали делят друг друга в отношении φ. Любое число Фибоначчи, делённое на предыдущее, стремится к φ. Цепная дробь [1; 1, 1, 1, …] — самая простая бесконечная цепная дробь: она состоит только из единиц. Поэтому φ — число, которое труднее всего хорошо приблизить обыкновенными дробями, и его часто называют «самым иррациональным» числом.
Если из золотого прямоугольника вырезать квадрат, остаётся меньший золотой прямоугольник, уменьшенный в 1/φ раза. Повторяя это бесконечно, дуга образует золотую спираль, знакомую по раковинам и галактикам.
φ удовлетворяет равенству φ² = φ + 1, а значит и φ = 1 + 1/φ. Подставляя это снова и снова, получаем φ = 1 + 1/(1 + 1/(1 + …)). Эта бесконечная цепная дробь из одних единиц одновременно и определяет φ, и объясняет его репутацию «самого иррационального» числа. Полное значение: 1,61803398874989484820…
В правильном пятиугольнике со стороной 1 каждая диагональ имеет длину φ ≈ 1,618. Кроме того, диагонали делят друг друга в золотом отношении. Если провести все пять диагоналей, получится пентаграмма, целиком наполненная золотыми пропорциями.
Золотое сечение φ приблизительно равно 1,61803398874989484820. Это положительное решение уравнения x² = x + 1. φ иррационально, алгебраично и является пределом отношений соседних чисел Фибоначчи. Оно появляется в правильном пятиугольнике и икосаэдре, в спиральных рисунках семян подсолнуха и в пропорциях, которые изучаются со времён античности. Его цепная дробь [1; 1, 1, 1, ...] делает его числом, которое хуже всего приближается рациональными дробями.
Golden Ratio φ is irrational. Its decimal expansion never ends and never repeats. Every digit shown below is computed from the quadratic formula.