Число называется иррациональным, если его нельзя представить в виде дроби p/q, где p и q — целые числа. Его десятичная запись никогда не заканчивается и никогда не становится периодической. √2, π, e и φ — все иррациональны. Это не исключения и не диковинки, а подавляющее большинство всех вещественных чисел.
Синим показаны рациональные числа, то есть точные дроби. Красным — иррациональные, то есть непериодические десятичные записи. Между любыми двумя рациональными всегда есть иррациональное число, и наоборот.
Сравнение рациональных чисел с конечными или периодическими десятичными записями и иррациональных чисел с бесконечными непериодическими записями.
| РАЦИОНАЛЬНОЕ: заканчивается или повторяется | ИРРАЦИОНАЛЬНОЕ: никогда не повторяется |
|---|---|
| 1/4 = 0,25000... | √2 = 1,4142135... |
| endet | kein Muster, niemals |
| 1/3 = 0,3333... | π = 3,1415926... |
| periodischer Block: {3} | kein Muster, niemals |
| 22/7 = 3,142857... | e = 2,7182818... |
| periodischer Block: {142857} | kein Muster, niemals |
| 5/11 = 0,454545... | φ = 1,6180339... |
| periodischer Block: {45} | kein Muster, niemals |
Рациональные числа, несмотря на свою бесконечность, можно перечислить. Иррациональные числа перечислить нельзя. Если выбирать вещественное число случайно, вероятность того, что оно рационально, равна ровно нулю.
Число иррационально, если его нельзя записать в виде дроби p/q, где p и q — целые. Его десятичная запись никогда не заканчивается и никогда не становится периодической. Пифагорейцы около 500 года до н. э. доказали, что √2 иррационально, и это стало шоком для древней математики. Ламберт доказал иррациональность π в 1761 году, Эйлер — иррациональность e в 1737-м. Большинство вещественных чисел иррациональны: рациональные числа счётны, а иррациональные — несчётны, поэтому при случайном выборе вещественного числа с вероятностью 1 получится иррациональное. Алгебраические иррациональные числа удовлетворяют полиномиальному уравнению, трансцендентные — нет.