Приближение Стирлинга утверждает, что для больших n справедливо: n! ≈ √(2πn) · (n/e)ⁿ. Удивительно, что и π, и e появляются в формуле для подсчёта перестановок. Для n = 10 ошибка меньше 1 процента. Для n = 100 она уже меньше 0,1 процента. Чем больше n, тем точнее становится формула.
Относительная ошибка |n! − Stirling(n)| / n! падает ниже 1 процента при n = 8 и ниже 0,1 процента при n = 80. Для больших n формула Стирлинга практически точна.
Абрахам де Муавр в 1730 году заметил, что n! ≈ C·√n·(n/e)ⁿ для некоторой константы C. В том же году Джеймс Стирлинг установил, что C = √(2π). Множитель √(2π) возникает из гауссова интеграла. Если выводить формулу Стирлинга через гамма-функцию, появляется интеграл ∫e^(-t²)dt = √π, и именно он приносит π в эту формулу.
Логарифмическая форма используется повсюду в физике. В статистической механике формула энтропии Больцмана S = k·ln(W) требует вычислять ln(N!) для огромных N, то есть для числа частиц порядка вещества. Приближение Стирлинга даёт ln(N!) ≈ N·ln(N) - N и делает вычисления выполнимыми. Полный асимптотический ряд добавляет поправки: n! = √(2πn)(n/e)ⁿ · exp(1/(12n) - 1/(360n³) + ⋯).
На логарифмической шкале n! и приближение Стирлинга почти неразличимы. Относительная ошибка стремится к нулю при росте n.