Совершенные числа

σ(n) = 2n

Сумма ВСЕХ делителей, включая само n, равна удвоенному числу.

Совершенное число равно сумме всех своих собственных делителей, то есть всех делителей, кроме самого числа. Например, 6 = 1+2+3. И 28 = 1+2+4+7+14. Такие числа чрезвычайно редки. Известно только 51 совершенное число, все они чётные и растут астрономически быстро. Существует ли хоть одно нечётное совершенное число — одна из старейших открытых задач математики.

Первые четыре совершенных числа: портреты их делителей

Теорема Евклида — Эйлера: чётные совершенные числа ↔ простые числа Мерсенна

n is even perfect  ⟺  n = 2^(p−1) · (2^p − 1)

where 2^p − 1 is a Mersenne prime

Euclid proved the → direction. Euler proved ← . All 51 known perfect numbers are even and come from this formula. Whether odd perfect numbers exist is unknown.

Совершенные числа на логарифмической шкале: они растут быстрее экспоненты

Показаны значения log10. Даже на логарифмической шкале каждый следующий скачок значительно больше предыдущего. 51-е совершенное число содержит более 49 миллионов цифр.

Простые числа → Числовые системы →

Связанные темы

Простые числа Модульная арифметика Числовые системы

Краткие факты о совершенных числах

Совершенное число равно сумме своих собственных делителей: 6 = 1+2+3, 28 = 1+2+4+7+14. Евклид показал, что число 2^(p-1)·(2^p-1) совершенно всякий раз, когда 2^p-1 — простое число Мерсенна. Эйлер доказал обратное: каждое чётное совершенное число имеет именно такой вид. Существование нечётного совершенного числа — одна из старейших нерешённых задач. До сих пор ни одного не найдено. Все 51 известных совершенных числа чётные и соответствуют 51 известному простому числу Мерсенна.

Применяется в

∑Математика

✓

⚛Физика

–

⚙Инженерия

–

🧬Биология

–

💻Информатика

✓

📊Статистика

–

📈Финансы

–

🎨Искусство

–

🏛Архитектура

–

♪Музыка

–

🔐Криптография

–

🌌Астрономия

–

⚗Химия

–

🦉Философия

✓

🗺География

–

🌿Экология

–

Want to test your knowledge?

Question

Что такое совершенное число?

tap · space

1 / 10