Произведение Уоллиса записывает π/2 как бесконечное произведение простых дробей: (2/1) × (2/3) × (4/3) × (4/5) × (6/5) × (6/7) × ⋯. Каждое чётное число появляется дважды: один раз больше соседнего нечётного, и один раз меньше следующего. Если перемножить достаточно много множителей, произведение сходится к π/2 ≈ 1,5708.
Произведение Уоллиса: (2/1)(2/3)(4/3)(4/5)(6/5)(6/7)... Частичные произведения сходятся снизу к π/2 ≈ 1,5708 и постепенно осциллируют вокруг предела.
Джон Уоллис вывел эту формулу в 1655 году из интеграла ∫₀^(π/2) sinⁿ(x) dx, сравнивая чётные и нечётные показатели степени. Поразительно, что π возникает здесь из чистого перемножения рациональных чисел, вообще без прямой геометрии. То же произведение следует и из тождества гамма-функции π = Γ(1/2)².
Произведение Уоллиса сходится очень медленно. После n пар множителей ошибка имеет порядок 1/(4n). Теоретически оно всё же чрезвычайно важно, потому что было одним из первых бесконечных произведений, исследованных систематически. Оно открыло путь к формуле sin(x) = x∏(1 - x²/n²π²) и ко всей теории бесконечных произведений в комплексном анализе.
Для чётных n имеем I(n) = (π/2)·(1/2)·(3/4)·(5/6)…(n−1)/n. Для нечётных n имеем I(n) = 1·(2/3)·(4/5)…(n−1)/n. Отношение соседних интегралов I(2n)/I(2n+1) стремится к 1 и тем самым даёт произведение Уоллиса.