В любом прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы, то есть стороны напротив прямого угла, равен сумме квадратов двух других сторон. Если катеты равны a и b, а гипотенуза — c, то a² + b² = c². Например, для треугольника 3-4-5 имеем 9 + 16 = 25.
a² + b² = c². Для треугольника 3-4-5 это 9 + 16 = 25. Синяя и красная площади вместе равны зелёной.
Вавилонские глиняные таблички около 1900 года до н. э. уже содержат пифагоровы тройки вроде 3,4,5, 5,12,13 и 8,15,17. Это показывает, что соотношение было известно задолго до Пифагора на эмпирическом уровне. Его школа около 570 года до н. э., вероятно, дала первое доказательство. Сегодня известно более 370 различных доказательств — алгебраических, геометрических, тригонометрических и даже одно, опубликованное будущим президентом США Джеймсом Гарфилдом в 1876 году.
Таблица пифагоровых троек.
| a | b | c | a²+b²=c² |
|---|---|---|---|
| 3 | 4 | 5 | 9+16=25 ✓ |
| 5 | 12 | 13 | 25+144=169 ✓ |
| 8 | 15 | 17 | 64+225=289 ✓ |
| 7 | 24 | 25 | 49+576=625 ✓ |
В n измерениях расстояние от начала координат до точки (x₁, x₂, …, xₙ) равно √(x₁² + x₂² + ⋯ + xₙ²). Последняя теорема Ферма, доказанная Эндрю Уайлсом в 1995 году после 358 лет, утверждает, что для степеней больше 2 не существует целочисленных решений уравнения aⁿ + bⁿ = cⁿ. Значит, теорема Пифагора — это особый случай n = 2, и только в нём существуют бесконечно многие целочисленные решения.
Оба больших квадрата имеют сторону a+b. Оба содержат четыре одинаковых прямоугольных треугольника. В левом квадрате остаётся c², в правом — a²+b². Следовательно, эти площади равны.
В любом прямоугольном треугольнике выполняется a^2 + b^2 = c^2. Эмпирически это соотношение было известно вавилонянам уже около 1800 года до н. э., а первое доказательство, вероятно, дали пифагорейцы около 570 года до н. э. Известно более 370 различных доказательств, в том числе одно, предложенное президентом США Джеймсом Гарфилдом в 1876 году. Целочисленные решения называются пифагоровыми тройками и полностью задаются формулой (m^2-n^2, 2mn, m^2+n^2). Последняя теорема Ферма показывает, что для степеней выше 2 аналогичных решений уже нет. В n измерениях теорема превращается в формулу евклидова расстояния.