Гармонический ряд — это сумма всех единичных дробей. Каждый член 1/n стремится к нулю, и может показаться, что сумма должна сходиться, но это не так. Доказательство использует группировку: 1/3+1/4 > 1/2, затем 1/5+1/6+1/7+1/8 > 1/2, и каждая такая группа даёт как минимум 1/2. Поэтому сумма превосходит любую границу. И всё же расходится она необычайно медленно: чтобы получить частичную сумму 100, нужно больше членов, чем атомов в наблюдаемой Вселенной.
H(n) и ln(n) растут вместе и всё время отличаются примерно на γ ≈ 0,5772. Оба выражения расходятся: чтобы получить H(n) = 100, требуется около 10^43 членов.
Чтобы H(n)=100, требуется примерно 10^43 членов. Это больше, чем атомов в наблюдаемой Вселенной.
Гармонический ряд 1 + 1/2 + 1/3 + ... расходится. Николь Орем доказал это около 1350 года. Хотя каждый член стремится к нулю, сумма растёт без всякой верхней границы. Частичные суммы растут как ln(n) + gamma, где gamma ≈ 0,5772 — константа Эйлера — Маскерони. После миллиона членов сумма составляет лишь около 14. Чтобы достичь 100, требуется больше 10^43 членов. Знакочередующийся ряд 1 - 1/2 + 1/3 - ... напротив сходится к ln 2.