Единица появляется на позициях 1, 2, 6, 24, 120, 720… то есть на факториалах. Все остальные цифры равны 0. Промежутки растут чрезвычайно быстро: после позиции 24 следующая единица появляется только на позиции 120.
Каждый прорыв приносил новый инструмент для доказательства трансцендентности чисел. Линдеман в 1882 году показал, что π трансцендентно, и тем самым сделал квадратуру круга невозможной.
Константа Лиувилля L = 0,110001000000000000000001... имеет единицы на позициях 1!, 2!, 3!, 4!, ... и нули везде иначе. Жозеф Лиувилль построил её в 1844 году как первое явное трансцендентное число — за 29 лет до того, как Эрмит доказал трансцендентность e. Его аргумент показал, что алгебраические числа нельзя слишком хорошо приближать рациональными. Всё более редкие единицы в L как раз нарушают эту границу. Эта конструкция элегантно продемонстрировала существование трансцендентных чисел задолго до диагонального аргумента Кантора.