Константа Гельфонда — это e в степени π. Её приближённое значение равно 23,14069263277927… Доказательство её трансцендентности решило 7-ю проблему Гильберта, которую тот включил в список 23 важнейших нерешённых задач XX века в 1900 году. Александр Гельфонд решил её в 1934-м.
e^π заманчиво близка к 23, но не дотягивает до него на 0,14. Совпадение e^π - π ≈ 19,999 ещё ближе, но никакого известного смысла не имеет.
Теорема Гельфонда — Шнайдера 1934 года утверждает: если a алгебраично и не равно 0 или 1, а b алгебраично и иррационально, то a^b трансцендентно. Константа Гельфонда удовлетворяет e^π = (e^(iπ))^(−i) = (−1)^(−i). Здесь a = −1 алгебраично, а b = −i алгебраично и иррационально. Поэтому теорема применяется напрямую.
Таблица примеров чисел, трансцендентность которых следует из теоремы Гельфонда — Шнайдера
| Выражение | a | b | Результат |
|---|---|---|---|
| e^π = (-1)^(-i) | -1 | -i | transzendent |
| 2^√2 (Hilbert) | 2 | √2 | transzendent |
| √2^√2 | √2 | √2 | transzendent |
Числовое почти-равенство e^π − π ≈ 19,9990999 не имеет известного математического объяснения. Вероятно, это случайность, но похожие совпадения, например у константы Рамануджана, иногда оказывались глубоко осмысленными. e^π вычислена до миллионов десятичных знаков: 23,14069263277926900572908636794854738…
Верно, что e^π > π^e. Это можно доказать без калькулятора: функция x^(1/x) достигает максимума при x=e, поэтому e^(1/e) > π^(1/π), откуда и следует e^π > π^e.
Константа Гельфонда равна e^π ≈ 23,14069 и является трансцендентным числом. В 1934 году Александр Гельфонд доказал её трансцендентность, решив тем самым 7-ю проблему Гильберта. Решающим было переписать её как (−1)^(−i) и применить теорему Гельфонда — Шнайдера к алгебраическому основанию и алгебраическому иррациональному показателю. Числовое совпадение e^π − π ≈ 20 выглядит поразительно, но никакого известного теоретического смысла не имеет.