Основная теорема анализа связывает две, казалось бы, разные идеи. Часть 1: если интегрировать функцию от фиксированной точки до x, то производная этого интеграла снова даёт исходную функцию. Часть 2: определённый интеграл f от a до b равен значению любой первообразной F в точке b минус значение F в точке a.
∫₀² x² dx = [x³/3]₀² = 8/3 - 0 = 8/3 ≈ 2,667. Первообразная F(x) = x³/3 даёт точную площадь без приближений.
До этой теоремы площади приходилось вычислять с помощью сумм Римана: разбивать область на тонкие прямоугольники, складывать их площади и брать предел. Основная теорема заменяет всё это одним вычитанием. Ньютон понимал это уже к 1666 году, Лейбниц — независимо к 1675-му. Их спор о приоритете расколол британскую и континентальную математику на целое поколение.
Каждый интеграл, который изучают на курсах анализа, использует часть 2: найти первообразную, подставить границы и взять разность. Это работает потому, что дифференцирование и интегрирование являются точными взаимно обратными операциями. Это один из самых глубоких и полезных результатов всей математики.
Сумма Римана с 8 прямоугольниками даёт ≈ 0,273. Точный ответ равен 8/3 ≈ 2,667. Основная теорема даёт точный результат вообще без прямоугольников.
Работа, совершаемая переменной силой F(x) при перемещении от a до b, равна W = интеграл от a до b от F(x) dx = P(b) - P(a), где P — потенциальная энергия и P′ = -F. Скорость интегрируется в путь, сила — в импульс. Основная теорема делает такие вычисления выполнимыми, вместо того чтобы считать бесконечные суммы Римана.