Ряд Тейлора представляет любую гладкую функцию как бесконечный многочлен. Каждый коэффициент — это производная. n-й член равен f⁽ⁿ⁾(a)/n! умножить на (x-a)ⁿ. Для хорошо ведущих себя функций, таких как eˣ, sin(x) и cos(x), этот ряд всюду сходится к точному значению функции.
Каждый дополнительный член расширяет область, где приближение хорошо работает. При всё большем числе членов получаем sin(x) ≈ x − x³/6 + x⁵/120 − x⁷/5040 + …
Три важнейших ряда Маклорена таковы: eˣ = 1 + x + x²/2! + x³/3! + ⋯, и он сходится всюду. sin(x) = x - x³/3! + x⁵/5! - ⋯, тоже всюду. cos(x) = 1 - x²/2! + x⁴/4! - ⋯, также всюду сходится. Если подставить x = iπ в ряд для eˣ, получится тождество Эйлера.
Таблица основных рядов Маклорена.
| f(x) | Ряд | Радиус |
|---|---|---|
| eˣ | 1+x+x²/2!+x³/3!+⋯ | ∞ |
| sin x | x-x³/3!+x⁵/5!-⋯ | ∞ |
| cos x | 1-x²/2!+x⁴/4!-⋯ | ∞ |
| ln(1+x) | x-x²/2+x³/3-⋯ | |x|≤1 |
| 1/(1-x) | 1+x+x²+x³+⋯ | |x|<1 |
Брук Тейлор сформулировал общий результат в 1715 году, а специальная форма с центром в 0 была популяризирована Колином Маклореном в 1742 году. Каждый калькулятор и каждый компьютер использует ряды Тейлора для вычисления трансцендентных функций. Ошибка после n членов ограничивается остаточным членом Лагранжа: |f(x) - Pₙ(x)| ≤ max|f⁽ⁿ⁺¹⁾| · |x-a|ⁿ⁺¹ / (n+1)!.
cos(x) ≈ 1 − x²/2 + x⁴/24 − x⁶/720 + … Каждый следующий член повышает порядок точности.
Ряд Тейлора представляет гладкую функцию как бесконечный многочлен: f(x) = f(a) + f′(a)(x-a) + f″(a)(x-a)^2/2! + ... Коэффициенты — это производные в точке разложения a. Ряды Маклорена — это ряды Тейлора с центром в 0. Три центральных ряда сходятся всюду: e^x = 1 + x + x^2/2! + ..., sin(x) = x - x^3/3! + x^5/5! - ..., cos(x) = 1 - x^2/2! + x^4/4! - ... Если подставить x = i*pi в ряд для e^x, получается тождество Эйлера. Любой калькулятор внутренне использует ряды Тейлора для вычисления трансцендентных функций.