Сложим обратные ко всем простым числам до n: 1/2 + 1/3 + 1/5 + 1/7 + ⋯ + 1/p. Эта сумма растёт, но чрезвычайно медленно — как ln(ln(n)). Константа Мейсселя — Мертенса M — это точный разрыв между этой суммой и её главным членом, так же как константа Эйлера — Маскерони γ измеряет разрыв между гармоническим рядом и ln(n).
Эйлер в 1737 году доказал, что сумма обратных ко всем простым расходится. Это заметно труднее, чем просто показать бесконечность простых, и даёт количественное представление о плотности простых чисел. Теорема Мертенса затем утверждает: Σ(p≤n) 1/p = ln(ln(n)) + M + O(1/log n), так что M — точный постоянный член этой асимптотики.
Сравнение константы Эйлера — Маскерони и константы Мейсселя — Мертенса.
| Эйлер — Маскерони γ | Мейссель — Мертенс M |
|---|---|
| Σ 1/n − ln(n) → 0,5772 | Σ 1/p − ln(ln n) → 0,2615 |
| все целые числа | только простые числа |
M и γ связаны формулой M = γ + Σₚ(ln(1−1/p) + 1/p). Неизвестно, иррациональна ли хотя бы одна из этих двух констант. Обе вычислены до миллиардов знаков, и обе считаются, вероятно, трансцендентными, но доказательств пока нет.
Гармоническая сумма достигает 2,93, 5,19, 7,49 и 9,79. Сумма обратных простых, которая растёт как ln(ln(n)) + M, в тех же точках достигает лишь 0,84, 1,18, 1,52 и 1,85.
Константа Эйлера — Маскерони γ измеряет разрыв между гармоническим рядом 1 + 1/2 + 1/3 + ... + 1/n и ln(n). Константа Мейсселя — Мертенса M играет ту же роль для суммы обратных простых и ln(ln(n)). В одном случае участвуют все целые числа, в другом — только простые. Поэтому M можно рассматривать как «просточисленную» версию γ.
Константа Мейсселя — Мертенса M ≈ 0,26149 играет для суммы обратных простых ту же роль, что константа Эйлера — Маскерони для гармонического ряда. Она задаётся как предел Σₚ≤ₙ 1/p − ln(ln(n)). Эйлер доказал, что сумма обратных простых расходится, а Мертенс уточнил скорость этой расходимости. Неизвестно, является ли M иррациональной или трансцендентной, хотя это считается вероятным.