Что такое π (пи)?

Число π нельзя записать в виде дроби двух целых чисел; это доказал Иоганн Генрих Ламберт в 1761 году. Оно также трансцендентно, то есть не является корнем никакого многочлена с целыми коэффициентами; это доказал Фердинанд фон Линдеман в 1882 году. Поэтому квадратура круга циркулем и линейкой невозможна. Его десятичная запись не заканчивается и не становится периодической.

Архимед Сиракузский около 250 года до н. э. первым строго оценил π. Используя вписанные и описанные 96-угольники, он показал, что π находится между 3 + 10/71 и 3 + 1/7. Вавилоняне пользовались значением 3,125, египтяне — 3,1605. Символ π ввёл валлийский математик Уильям Джонс в 1706 году, а Эйлер сделал его общепринятым. На 2024 год π вычислено более чем до 100 триллионов десятичных знаков.

π встречается далеко за пределами кругов: в нормальном распределении, то есть колоколообразной кривой с √(2π), в тождестве Эйлера e^(iπ) + 1 = 0, в вероятности того, что два случайных целых взаимно просты, а именно 6/π², в формуле Стирлинга n! ≈ √(2πn)(n/e)ⁿ, в квантовой механике и в формуле объёма шара 4πr³/3.

π ≈ 3,14159265358979323846. Иррационально, Ламберт, 1761. Трансцендентно, Линдеман, 1882. День π — это 14 марта, то есть 3/14 в американском формате даты. Дробь 22/7 переоценивает π примерно на 0,04 процента. Более точное приближение 355/113 верно до шести десятичных знаков. Неизвестно, является ли π нормальным числом, то есть встречается ли каждая последовательность цифр с одинаковой частотой, хотя это широко предполагается.