У каждого вещественного числа есть цепная дробь: x = a₀ + 1/(a₁ + 1/(a₂ + ⋯)). Целые числа a₁, a₂, a₃, … называются неполными частными. Для π они равны 3; 7, 15, 1, 292, 1, 1, 1, 2… Для √2 это 1; 2, 2, 2, 2, 2… — то есть периодически одни двойки. Хинчин в 1934 году доказал, что почти для любого вещественного числа геометрическое среднее этих неполных частных сходится к одной и той же константе K₀ ≈ 2,68545.
P(k) = log₂(1 + 1/k(k+2)). Неполное частное 1 появляется примерно в 41 проценте всех разложений цепных дробей случайных вещественных чисел.
Формула для K₀ имеет вид K₀ = ∏(k=1 до ∞) (1 + 1/(k(k+2)))^(log₂(k)) и сходится чрезвычайно медленно. Теорема Хинчина — пример результата, верного почти для каждого числа, но не проверенного ни для одной конкретной знаменитой константы. До сих пор мы не можем указать явный пример числа, для которого было бы доказано, что оно подчиняется этой теореме.
Уже при k=3 охвачено более двух третей всех неполных частных. Последовательность медл енно приближается к 1.
То, что 1 доминирует с долей около 41,5 процента, объясняет, почему K₀ ≈ 2,685 меньше 3: малые значения тянут геометрическое среднее вниз. Если бы цифры от 1 до 9 были равновероятны, геометрическое среднее было бы (1·2·3⋯9)^(1/9) = 9!^(1/9) ≈ 4,15. Сильное смещение в пользу 1 делает K₀ значительно меньше.
Константа Хинчина K₀ ≈ 2,68545 — универсальный предел: почти для любого вещественного числа x = [a₀; a₁, a₂, ...] геометрическое среднее неполных частных (a₁·a₂·...·aₙ)^(1/n) сходится к K₀. Хинчин доказал это в 1934 году. Поразительна именно универсальность: почти все числа имеют одно и то же геометрическое среднее, и при этом для ни одной знаменитой константы вроде π или e это не доказано. Неизвестно, является ли K₀ алгебраической или трансцендентной.