Функция e^(−x²) — это колоколообразная кривая: она достигает максимума 1 при x = 0 и симметрично убывает к 0 в обе стороны. Площадь под ней на всей вещественной оси равна точно √π ≈ 1,7724. Это поразительно: e и π, которые обычно появляются в разных контекстах, встречаются вместе в самом простом интеграле теории вероятностей.
Интеграл e^(−x²) по всем x равен √π ≈ 1,7725. Это и есть гауссов интеграл. Если разделить его на √(2π), получится кривая стандартного нормального распределения.
Доказательство — один из самых элегантных трюков в математике. Пусть I = ∫e^(−x²)dx. Тогда вычисляют I², записывая его как двойной интеграл по x и y, а затем переходят к полярным координатам r, θ. Подынтегральная функция становится e^(−r²), а элемент площади — r·dr·dθ. Именно этот множитель r делает интеграл элементарным: ∫₀^∞ re^(−r²)dr = 1/2. Умножая на ∫₀^(2π) dθ = 2π, получаем I² = π, а значит I = √π.
Нормальное распределение, центральная предельная теорема, квантовомеханические волновые функции с гауссовыми пакетами и формула Стирлинга для факториалов — всё это опирается на этот один интеграл. Значение √π появляется везде, где интегрируют e^(−x²), то есть в удивительно многих местах непрерывной теории вероятностей.
Гауссов интеграл — это интеграл от -бесконечности до +бесконечности от e^(-x^2) dx = sqrt(pi). Элегантное доказательство возводит интеграл в квадрат, переходит к полярным координатам и вычисляет его точно. Именно этот расчёт лежит в основе нормального распределения: плотность (1/sqrt(2*pi))*e^(-x^2/2) интегрируется в 1. Гауссова функция появляется в квантовой механике, теплопроводности, формуле Стирлинга и центральной предельной теореме.