e — единственное число, для которого функция eˣ равна своей собственной производной. Если взять любую сумму и дать ей непрерывно расти со скоростью 100 процентов в год, то ровно через один год она станет в e раз больше начальной. Ни у какого другого основания нет этого самоссылочного свойства.
По мере роста n последовательность приближается к e снизу и сходится к 2,71828182845904…
Таблица значений (1+1/n)^n, сходящихся к e.
| n | (1 + 1/n)ⁿ | Расстояние до e |
|---|---|---|
| 1 | 2,000000 | 0,71828 |
| 10 | 2,593742 | 0,12454 |
| 100 | 2,704814 | 0,01347 |
| 1 000 | 2,716924 | 0,00136 |
| 1 000 000 | 2,718281 | 0,0000014 |
| ∞ | 2,71828… | 0 |
Интерпретация через сложные проценты такова: если банк платит 100 процентов годовых и начисляет проценты n раз в год, ваш капитал растёт в (1 + 1/n)ⁿ раза. Ежемесячное начисление даёт 2,613. Начисление каждую секунду даёт 2,718. Непрерывное начисление даёт точно e.
При x=1 и высота кривой, и наклон касательной равны e ≈ 2,718. Ни у какого другого основания b^x этого свойства нет.
Якоб Бернулли открыл e в 1683 году, изучая сложные проценты. Эйлер обозначил эту константу буквой e в 1731 году. Она иррациональна (Эйлер, 1737) и трансцендентна (Эрмит, 1873). Её десятичная запись 2,71828182845904523536… никогда не повторяется.
Если начать с 1 евро при 100 процентах годовых: ежемесячное начисление даёт 2,613, ежедневное — 2,714, каждую секунду — 2,718. Предел при n→∞ равен точно e.
e примерно равно 2,71828182845904523536. Это единственное число, для которого e^x в каждой точке равно собственной производной. Якоб Бернулли открыл его в 1683 году, изучая сложные проценты. Леонард Эйлер дал ему обозначение e около 1731 года. e иррационально (Эйлер, 1737) и трансцендентно (Эрмит, 1873). Оно возникает при непрерывном росте и распаде, в натуральных логарифмах, нормальном распределении, сложных процентах, радиоактивном распаде и в тождестве Эйлера e^(i*pi) + 1 = 0.
Тождество Эйлера · Ln2 · Ряды Тейлора
Число Эйлера e is irrational. Its decimal expansion never ends and never repeats. Every digit shown below is computed from the ряд тейлора.