ζ(3) — это значение функции Римана ζ в точке 3, то есть сумма 1/n³ по всем положительным целым числам. Для чётных аргументов Эйлер нашёл красивые замкнутые формулы: ζ(2) = π²/6, ζ(4) = π⁴/90, ζ(6) = π⁶/945. Для нечётных аргументов такой формулы нет. Неизвестно даже, входит ли π в выражение для ζ(3).
z(3) лежит между двумя значениями, для которых известны замкнутые формулы через π. Входит ли π в z(3), до сих пор неизвестно.
В 1978 году Роже Апери объявил доказательство того, что ζ(3) иррациональна. Слушатели отнеслись к этому скептически. Анри Коэн и другие математики поспешили домой и всю ночь проверяли доказательство на компьютерах. На следующее утро они подтвердили, что оно верно. «Это было как гром среди ясного неба», — сказал один из присутствовавших. Апери было 64 года.
Частичные суммы 1 + 1/8 + 1/27 + 1/64... приближаются к ζ(3) ≈ 1,20206 снизу. Сходимость медленная: даже при n=50 сумма всё ещё отличается примерно на 0,003.
Можно ли выразить ζ(3) через π — один из главных открытых вопросов. Все чётные значения дзета-функции являются рациональными кратными соответствующих степеней π. Нечётные значения, похоже, живут в другом мире. Известно, что бесконечно много нечётных значений ζ(2n+1) иррациональны (Ривоаль, 2000), но точная картина остаётся загадочной. Полное значение: 1,20205690315959428539973816151144999…
ζ(2k) = рациональное число × π^(2k) для всех чётных k. Эйлер доказал это для всех чётных значений. Но ζ(3), ζ(5), ζ(7)... устроены совсем иначе. ζ(3) иррациональна (Апери), однако никакой связи с π не известно. Возможно, она действительно независима от π.
Таблица значений дзета-функции в чётных точках как формул через π и нечётных точках как открытой загадки.
| Чётные s: точные формулы | Нечётные s: загадка |
|---|---|
| ζ(2) = π²/6 | ζ(3) = 1,20206... |
| ζ(4) = π⁴/90 | irrational (Apéry 1978) |
| ζ(6) = π⁶/945 | ζ(5) = 1,03693... |
| ζ(8) = π⁸/9450 | irrational? unbekannt |
| Alle = rational × π^s | Keine bekannte π-Verbindung |
Неизвестно. В 1978 году Роже Апери доказал, что zeta(3) иррациональна, но вопрос о её трансцендентности остаётся открытым. Большинство математиков считают, что она трансцендентна, однако доказательства нет.
В квантовой электродинамике, например в поправках к магнитному моменту электрона, в теории случайных матриц и в энтропии двумерной модели Изинга. Она также возникает в распределениях Ферми–Дирака и Бозе–Эйнштейна в статистической механике.
Рамануджан нашёл быстро сходящиеся ряды для zeta(3), включая формулу с 7π³/180 и суммами по экспоненциальным членам. В его записных книжках были десятки тождеств для zeta(3); большинство из них доказали лишь спустя десятилетия после его смерти.
Это целые числа A(n) = сумма по k от C(n,k)^2 C(n+k,k)^2, которые возникают в доказательстве иррациональности Апери. Первые из них — 1, 5, 73, 1445 и 33001. Они удовлетворяют рекуррентной формуле и растут так, что в частичных суммах 1/n^3 некоторые множители в знаменателях сокращаются, что и заставляет предел быть иррациональным.
Константа Апери ζ(3) — это сумма 1 + 1/8 + 1/27 + 1/64 + ... = 1,20205690315959. Для чётных значений s Эйлер нашёл замкнутые формулы через π, например ζ(2) = π²/6 и ζ(4) = π⁴/90. Для нечётных значений такой формулы не известно. В 1978 году Роже Апери в возрасте 64 лет доказал, что ζ(3) иррациональна. Остаётся открытым, является ли ζ(3) трансцендентной и можно ли выразить её через π.