√2 — это длина диагонали единичного квадрата. Если положить квадрат со стороной 1 на стол, то расстояние от одного угла до противоположного будет ровно √2. Это напрямую следует из теоремы Пифагора: 1² + 1² = (√2)².
Пифагорейцы около 500 года до н. э. обнаружили, что √2 нельзя записать в виде дроби p/q целых чисел p и q. Доказательство от противного элегантно: предположим, что √2 = p/q в несократимом виде. Тогда 2q² = p², значит p² чётно, а значит p само чётно, то есть p = 2k. Тогда 2q² = 4k² и q² = 2k², следовательно, q тоже чётно. Это противоречит несократимости дроби p/q. Значит, √2 иррационально.
Подходящие дроби цепной дроби [1; 2, 2, 2, …]. Каждая из них — лучшее рациональное приближение с данным знаменателем.
Подходящие дроби для корня из 2, полученные из его цепной дроби.
| Дробь | Десятичное число | Ошибка |
|---|---|---|
| 1/1 | 1,000 | 0,41421 |
| 3/2 | 1,500 | 0,08579 |
| 7/5 | 1,400 | 0,01421 |
| 17/12 | 1,41667 | 0,00246 |
| 99/70 | 1,41429 | 0,0000849 |
√2 алгебраично, потому что удовлетворяет уравнению x² = 2, но при этом иррационально. В тригонометрии sin(45°) = cos(45°) = 1/√2. Серия бумаги A — то есть A4, A3, A2 и так далее — использует отношение 1:√2, чтобы при делении пополам сохранялись те же пропорции. Полное значение: 1,41421356237309504880168872…
Каждый прямоугольный треугольник имеет один катет, равный предыдущей гипотенузе, и другой катет, равный 1. Гипотенузы равны √1, √2, √3, √4, √5… Большинство из них иррациональны. √2, отмеченное красным, было первым числом, чья иррациональность была доказана пифагорейцами около 500 года до н. э.
Корень из 2 приблизительно равен 1,41421356237309504880. Это было первое число, для которого вообще доказали иррациональность — ещё древние греки около 500 года до н. э. Оно алгебраично и удовлетворяет уравнению x² = 2. Оно появляется как диагональ единичного квадрата, в равномерно темперированном строе музыки, где каждый полутон умножает частоту на двенадцатый корень из 2, в форматах серии бумаги A и везде, где в теореме Пифагора катеты имеют одинаковую длину.
Square Root of 2 is irrational. Its decimal expansion never ends and never repeats. Every digit shown below is computed from the continued fraction.