Тождество Эйлера следует из формулы Эйлера: eix = cos(x) + i·sin(x). Подставив x = π, получаем eiπ = cos(π) + i·sin(π) = −1, значит eiπ + 1 = 0.
eiθ описывает единичную окружность. Поворот на π приводит в точку −1. Прибавля ем 1 — получаем 0.
Оно связывает арифметику (0 и 1), алгебру (i), геометрию (π) и анализ (e) — четыре разных раздела математики — в одном уравнении поразительной простоты. Richard Feynman назвал его “самой замечательной формулой в математике.”
Leonhard Euler (1707–1783) опубликовал формулу eix = cos(x) + i·sin(x) в своём труде Introductio in analysin infinitorum (1748). Тождество — это частный случай при x = π. Euler ввёл или популяризировал обозначения e, i, f(x), Σ и π.
Ряд Тейлора для eˣ при x = iπ распадается на cos(π) в действительной части и i·sin(π) в мнимой. Поскольку cos(π) = -1 и sin(π) = 0, получаем e^(iπ) = -1, а значит e^(iπ) + 1 = 0.
Формула e^(i*theta) описывает единичную окружность на комплексной плоскости по мере роста theta. e^(i*pi) — это поворот ровно на pi радиан, то есть на 180 градусов, начиная из точки 1, и он приводит в точку -1. Прибавив 1, мы возвращаемся к 0. Поэтому e^(i*pi) + 1 = 0: это пол-оборота в комплексной плоскости, записанный как уравнение.
e^(iθ) — оператор вращения. При θ = π совершается ровно пол-оборота. Точка 1 на вещественной оси переходит в -1. Если прибавить 1 к обеим сторонам, получится e^(iπ) + 1 = 0.
Тождество Эйлера e^(i*pi) + 1 = 0 объединяет пять важнейших констант математики: e — основание натуральных логарифмов, i — мнимую единицу, pi — число окружности, 1 — мультипликативную единицу и 0 — аддитивную единицу. Оно непосредственно следует из формулы Эйлера e^(i*theta) = cos(theta) + i*sin(theta), если подставить theta = pi. Поскольку cos(pi) = -1 и sin(pi) = 0, получаем e^(i*pi) = -1. Эйлер опубликовал это около 1748 года. Во многих опросах это уравнение называли самым красивым в математике.