Цепная дробь представляет число как целую часть плюс обратную величину другой цепной дроби. Каждое вещественное число имеет единственное разложение в цепную дробь. Рациональные числа заканчиваются, квадратичные иррациональности становятся периодическими, а трансцендентные числа вроде pi не обнаруживают узора. Конвергенты, то есть рациональные приближения, получаемые отсечением, доказуемо являются наилучшими приближениями с знаменателем такого размера.
Таблица, сравнивающая цепные дроби для phi, sqrt2, e и pi и показывающая, какие из них периодичны, а какие нерегулярны.
| КОНСТАНТА | ЗАПИСЬ ЦД | ТИП |
|---|---|---|
| phi | [1; 1, 1, 1, 1, ...] | periodisch |
| sqrt(2) | [1; 2, 2, 2, 2, ...] | periodisch |
| sqrt(3) | [1; 1, 2, 1, 2, ...] | periodisch |
| e | [2; 1, 2, 1, 1, 4, 1, 1, 6...] | Muster |
| pi | [3; 7, 15, 1, 292, 1, ...] | kein Muster |
| Satz: Ein Kettenbruch ist genau dann periodisch, wenn die Zahl quadratisch irrational ist (Lagrange, 1770) | ||
| phi ist am schwersten zu approximieren: sein Kettenbruch aus lauter Einsen liefert die langsamste mögliche Konvergenz |
Таблица конвергентов pi с всё более точными рациональными приближениями при малых знаменателях.
| КОНВЕРГЕНТ | ДЕСЯТИЧНОЕ | ОШИБКА |
|---|---|---|
| 3/1 | 3,000000 | 0,14159 |
| 22/7 | 3,142857 | 0,00126 |
| 333/106 | 3,141509 | 0,000083 |
| 355/113 | 3,141592… | 0,0000003 |
| 103993/33102 | 3,14159265… | 2,7e−10 |
| 355/113 ist mit einem nur dreistelligen Nenner auf 6 Dezimalstellen korrekt |
Конвергенты 3, 22/7, 333/106, 355/113 и 103993/33102 попеременно лежат выше и ниже π. Каждый из них является лучшим рациональным приближением с данным или меньшим знаменателем.
Phi · Sqrt2 · Хинчин
Каждое вещественное число имеет единственное разложение в цепную дробь. Рациональные числа имеют конечные разложения. Квадратичные иррациональности, такие как sqrt(2) и phi, в конечном счёте становятся периодическими. Трансцендентные числа вроде pi не обнаруживают узора. Конвергенты цепной дроби — лучшие рациональные приближения: 22/7 и 355/113 являются конвергентами pi и дают верные 2 и 6 десятичных знаков соответственно. Phi = [1; 1, 1, 1, ...] в точном смысле является числом, которое хуже всего приближается рациональными числами.