Отношения соседних членов Трибоначчи сходятся к T ≈ 1,839, отмеченному красной линией. Сначала последовательность переходит через предел и затем успокаивается. Золотое сечение φ ≈ 1,618 возникает точно так же из последовательности Фибоначчи.
В каждой строке суммируется больше предыдущих членов. Предел отношений растёт: φ≈1,618 для двух членов, T≈1,839 для трёх, примерно 1,928 для четырёх. При n→∞ скорость роста стремится к 2, потому что при бесконечно большом числе предыдущих членов новый член примерно равен сумме всех прошлых, и общий вес на каждом шаге примерно удваивается.
Сравнение последовательностей Фибоначчи, Трибоначчи и Тетраначчи и их предельных отношений.
| Последовательность | Правило | Члены | Предел |
|---|---|---|---|
| Фибоначчи | сумма 2 предыдущих | 1,1,2,3,5,8,13,21... | φ≈1,618 |
| Трибоначчи | сумма 3 предыдущих | 1,1,2,4,7,13,24... | T≈1,839 |
| Тетраначчи | сумма 4 предыдущих | 1,1,2,4,8,15,29... | ≈1,928 |
| Пентаначчи | сумма 5 предыдущих | 1,1,2,4,8,16,31... | ≈1,966 |
| n-nacci | сумма n предыдущих | ... | → 2 |
| Чем больше суммируется членов, тем ближе скорость роста к 2. |
Последовательность Трибоначчи 0, 0, 1, 1, 2, 4, 7, 13, 24, 44... удовлетворяет рекуррентному правилу T(n) = T(n-1) + T(n-2) + T(n-3). Отношения соседних членов сходятся к T ≈ 1,83929, вещественному решению уравнения x^3 = x^2 + x + 1. Это трёхчленный аналог золотого сечения. φ удовлетворяет x^2 = x + 1 для двухчленной последовательности, а T — соответствующему кубическому уравнению для трёхчленной. Идея n-nacci обобщает это на любое число обратных ссылок. Константа Трибоначчи алгебраична и имеет степень 3.