τ, читается «тау», равно 2π ≈ 6,28318. Его определяющее свойство очень простое: один полный оборот окружности равен ровно τ радианам. Пол-оборота — это τ/2 = π радиан. Четверть оборота — τ/4. Для тех, кому так естественнее, настоящей круговой константой является τ, а не π.
Один полный оборот соответствует τ радиан. τ/4 = 90°. τ/2 = 180° = π радиан. Длина окружности равна C = τr.
Аргумент в пользу τ таков: формула длины окружности становится C = τr, то есть длина окружности равна тау, умноженному на радиус, а любая доля оборота — это та же доля от τ. Имеем sin(τ) = 0 и cos(τ) = 1, то есть возврат в исходную точку. Тождество Эйлера в тау-форме выглядит как e^(iτ) = 1 — полный оборот. Аргумент против τ в том, что π уже столетиями встроено во все учебники и формулы.
Сравнение формул в записи через τ и через π.
| Формула | с π | с τ |
|---|---|---|
| Длина окружности | 2πr | τr |
| Площадь круга | πr² | τr²/2 |
| Полный оборот | 2π рад | τ рад |
| Тождество Эйлера | eⁱπ+1=0 | eⁱτ=1 |
| Гауссов интеграл | √(2π) | √τ |
τ = 2π трансцендентно, потому что π трансцендентно. Является ли τ более удачной круговой константой, — вопрос вкуса и преподавания, а не математики. Этот педагогический аргумент подробно сформулирован в Tau Manifesto Майкла Хартла 2010 года. Значение τ с 20 знаками: 6,28318530717958647692…
В записи через π четверть оборота — это π/2, то есть половина полной круговой константы. В записи через τ четверть оборота — это τ/4, буквально четверть. Любая доля оборота напрямую соответствует той же доле от τ.
Тау — это ровно удвоенное число π и приблизительно 6,28318530717958647692. Оно иррационально и трансцендентно. Один полный оборот окружности соответствует ровно одному тау радиан, поэтому многие считают τ более естественной круговой константой. Такой взгляд предложил Боб Пале в 2001 году, а широкую известность ему придало Tau Manifesto Майкла Хартла. День тау отмечают 28 июня, то есть 6/28. Тождество Эйлера в тау-форме имеет вид e^(iτ) = 1, что соответствует полному вращению комплексной плоскости обратно в исходную точку.
Tau τ is irrational. Its decimal expansion never ends and never repeats. Every digit shown below is computed from the circle definition.