A série harmónica 1 + 1/2 + 1/3 + 1/4 + ⋯ diverge, mas cresce incrivelmente devagar. Após um milhão de termos mal chega a 14. O logaritmo natural ln(n) cresce à mesma taxa. A constante de Euler-Mascheroni γ é a diferença exata entre ambos: γ = lim (1 + 1/2 + 1/3 + ⋯ + 1/n) - ln(n).
A diferença entre a soma harmónica e ln(n) aproxima-se de γ ≈ 0,5772 quando n → ∞. A convergência é muito lenta — a diferença ainda é 0,001 em n = 1000.
γ aparece por toda a análise e teoria dos números. Liga a série harmónica à função zeta de Riemann: γ = -ζ'(1) num sentido formal. Surge na função Gama Γ'(1) = -γ, na distribuição dos intervalos entre primos, em funções de Bessel e na expansão assintótica da função digama.
Saber se γ é racional ou irracional é um dos problemas abertos mais antigos da matemática. Quase todos os matemáticos acreditam que é transcendente, mas não existe demonstração. Foi calculada a mais de 600 mil milhões de casas decimais: 0.57721566490153286060651209008240243…
As somas parciais harmónicas H(n) (vermelho, em degraus) versus ln(n)+γ (azul, suave). A diferença entre elas aproxima-se de 0, mas oscila: H(n)−ln(n) → γ.
A constante de Euler-Mascheroni gamma é aproximadamente 0,57721566490153286060. Continua desconhecido se é racional ou irracional, um dos problemas abertos mais famosos da matemática. Euler publicou-a pela primeira vez em 1734; Mascheroni calculou-a independentemente em 1790. Gamma aparece na função Gama, na função zeta de Riemann, no teorema de Mertens sobre produtos de primos, em funções de Bessel e na distribuição dos intervalos entre primos. Como não existe algoritmo de streaming, os seus dígitos são pré-computados e armazenados.
Euler-Mascheroni Constant γ is irrational. Its decimal expansion never ends and never repeats. Every digit shown below is computed from the harmonic-logarithm limit.