O produto de Wallis escreve π/2 como um produto infinito de frações simples: (2/1) × (2/3) × (4/3) × (4/5) × (6/5) × (6/7) × ⋯ Cada número par aparece duas vezes, uma maior e outra menor que seus vizinhos. Multiplique termos suficientes e o produto converge para π/2 ≈ 1.5708.
Wallis product: (2/1)(2/3)(4/3)(4/5)(6/5)(6/7)... The partial products converge to π/2 ≈ 1.5708 from below, oscillating around the limit.
John Wallis derivou essa fórmula em 1655 a partir da integral ∫₀^(π/2) sinⁿ(x) dx, comparando os casos de n par e n ímpar. O que a torna notável é que ela deriva π a partir de pura multiplicação de números racionais, sem qualquer geometria. O mesmo produto surge da identidade da função Gamma: π = Γ(1/2)².
O produto de Wallis converge muito lentamente: após n pares, o erro é da ordem de 1/(4n). Tem enorme importância teórica como um dos primeiros produtos infinitos já estudados, abrindo caminho para a análise de sin(x) = x∏(1 - x²/n²π²) e para toda a teoria dos produtos infinitos na análise complexa.
Even n: I(n) = (π/2)·(1/2)·(3/4)·(5/6)…(n−1)/n. Odd n: I(n) = 1·(2/3)·(4/5)…(n−1)/n. The ratio of adjacent integrals I(2n)/I(2n+1) → 1, giving the Wallis product.