O Teorema Fundamental do Cálculo liga duas ideias que parecem separadas. Parte 1: se integrarmos uma função desde um ponto fixo até x, a derivada desse integral é a função original. Parte 2: o integral definido de f entre a e b é igual a qualquer primitiva F avaliada em b menos F avaliada em a.
∫₀² x² dx = [x³/3]₀² = 8/3 − 0 = 8/3 ≈ 2,667. A primitiva F(x) = x³/3 dá a área exata sem aproximação.
Antes deste teorema, calcular áreas exigia somas de Riemann: dividir a região em retângulos finos, somá-los e tomar o limite. O TFC substitui tudo isso por uma única subtração. Newton compreendeu isto em 1666 e Leibniz independentemente em 1675. A disputa entre ambos sobre a prioridade dividiu a matemática europeia e britânica durante uma geração.
Todo o integral ensinado nos cursos de cálculo usa a Parte 2: encontra-se uma primitiva, avalia-se nos extremos e subtrai-se. Isto funciona porque derivação e integração são inversas exatas uma da outra. É um dos resultados mais profundos e úteis de toda a matemática.
Uma soma de Riemann com 8 retângulos dá ≈ 0,273. A resposta exata é 8/3 ≈ 2,667. O Teorema Fundamental dá resultados exatos sem precisar de retângulos.
O trabalho realizado por uma força variável F(x) ao longo de um deslocamento de a até b é W = integral de a a b de F(x) dx = P(b) - P(a), onde P é a função energia potencial que satisfaz P' = -F. A velocidade integra-se em deslocamento; a força integra-se em impulso. É o TFC que torna estes cálculos tratáveis, em vez de exigir somas de Riemann infinitas.