A constante de Erdős-Borwein E é a soma 1/(2¹−1) + 1/(2²−1) + 1/(2³−1) + ⋯ = 1/1 + 1/3 + 1/7 + 1/15 + 1/31 + ⋯ Os denominadores são os números de Mersenne 2ⁿ − 1. Paul Erdős provou em 1948 que E é irracional, usando apenas propriedades elementares das representações binárias.
As somas parciais convergem rapidamente para E ≈ 1,6066951524. Os denominadores 2^n−1 crescem geometricamente, tornando a convergência muito mais rápida do que no problema da Basileia.
A série converge geometricamente depressa: cada termo é aproximadamente metade do anterior (já que 2ⁿ − 1 ≈ 2ⁿ para n grande). Após apenas 20 termos, a soma já está correta em 6 casas decimais. A equivalência E = Σ d(n)/2ⁿ (onde d(n) conta os divisores ímpares de n) liga-a à teoria da divisibilidade.
Continua em aberto saber se E é transcendental. O que torna memorável a prova de irracionalidade de Erdős é a sua economia: ele usou o facto de as representações binárias dos denominadores 1, 3, 7, 15, 31… (ou seja, 1, 11, 111, 1111, 11111 em binário) terem uma estrutura especial que impede a soma de ser racional. O valor é: 1.60669515245214159769492939967985…
Cada denominador 2^n - 1 é aproximadamente o dobro do anterior. A soma converge para E ~1.6066951524.
A constante de Erdős-Borwein E = 1/1 + 1/3 + 1/7 + 1/15 + ... ≈ 1.60669. Paul Erdős provou em 1948 que ela é irracional usando propriedades binárias dos denominadores 2^n - 1. Ela também é igual à soma de d(n)/2^n, onde d(n) conta os divisores ímpares de n. A série converge rapidamente: cada termo é aproximadamente metade do anterior. Continua desconhecido se é transcendental. Valor: 1.60669515245214159769492939967985...