A série de Taylor expressa qualquer função suave como um polinómio infinito. Cada coeficiente é uma derivada: o n-ésimo termo é f⁽ⁿ⁾(a)/n! vezes (x-a)ⁿ. Para funções bem comportadas como eˣ, sin(x) e cos(x), a série converge para o valor exato da função em toda parte.
Each extra term extends the approximation further. Adding more terms: sin(x) ≈ x − x³/6 + x⁵/120 − x⁷/5040 + …
As três séries de Maclaurin mais importantes: eˣ = 1 + x + x²/2! + x³/3! + ⋯ (converge em toda parte); sin(x) = x - x³/3! + x⁵/5! - ⋯ (converge em toda parte); cos(x) = 1 - x²/2! + x⁴/4! - ⋯ (converge em toda parte). Substituir x = iπ na série de eˣ produz a identidade de Euler.
Table of Maclaurin series
| f(x) | Reihe | Radius |
|---|---|---|
| eˣ | 1+x+x²/2!+x³/3!+⋯ | ∞ |
| sin x | x-x³/3!+x⁵/5!-⋯ | ∞ |
| cos x | 1-x²/2!+x⁴/4!-⋯ | ∞ |
| ln(1+x) | x-x²/2+x³/3-⋯ | |x|≤1 |
| 1/(1-x) | 1+x+x²+x³+⋯ | |x|<1 |
Brook Taylor formulou o teorema geral em 1715; o caso especial centrado em 0 foi popularizado por Colin Maclaurin em 1742. Toda calculadora e todo computador usam séries de Taylor para avaliar funções transcendentais. O erro após n termos é limitado pelo resto de Lagrange: |f(x) - Pₙ(x)| ≤ max|f⁽ⁿ⁺¹⁾| · |x-a|ⁿ⁺¹ / (n+1)!
cos(x) ≈ 1 − x²/2 + x⁴/24 − x⁶/720 + … Each pair of terms is one more order of accuracy.
Uma série de Taylor representa uma função suave como um polinómio infinito: f(x) = f(a) + f'(a)(x-a) + f''(a)(x-a)^2/2! + ... Os coeficientes são derivadas no ponto central a. Séries de Maclaurin são centradas em 0. As três séries principais convergem em toda parte: e^x = 1 + x + x^2/2! + ..., sin(x) = x - x^3/3! + x^5/5! - ..., cos(x) = 1 - x^2/2! + x^4/4! - ... Substituir x = i*pi na série de e^x prova a identidade de Euler. Toda calculadora usa séries de Taylor internamente para avaliar funções transcendentais.